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2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3平面向量的坐标运算 复习 平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2 使a= λ1 e1+ λ2 e2 (1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2)基底不唯一，关键是不共线； (3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式唯一. λ1,λ2是被 a ,e1、e2唯一确定的数量。 a= λ1 e1+ λ2 e2 复习 G=F1+F2 F1 F2 G G=F1+F2叫做重力G的分解 类似地，由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量λ1a1和λ2 a2,使a=λ1a1 + λ2 a2 新课引入 G与F1,F2有什么关系? 把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解 若两个不共线向量互相垂直时 a λ1a1 λ2 a2 F1 F2 G 正交分解 我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示？ 在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便。 a y O x xi yj j i 分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底. 任作一个向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x、 y, 使得 a= x i+y j 把(x,y)叫做向量a的坐标，记作 a = ( x, y ) 其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标 i= j= 0= ( 1, 0 ) ( 0, 1 ) ( 0, 0 ) a y O x xi yj j i a = ( x, y ) y O x a j i xi yj xi yj b 相等的向量坐标相同 向量a、b有什么关系? a＝b 能说出向量b的坐标吗? b=( x,y ) y x A a 如图，在直角坐标平面内，以原 点O为起点作OA=a，则点A的位 置由a唯一确定。 y x O j i 设OA=xi+yj，则向量OA的坐标 （x,y)就是点A的坐标； a (x,y) 因此，表示向量的有向线段的起点在原点时，该向量的坐标与该有向线段终点的坐标相同。 反过来，点A的坐标（x,y)也就是向量OA的坐标。 练习:在同一直角坐标系内画出下列向量. 解： 如图，用基底i，j分别表示向量a、b、c、d ,并求出它们的坐标. A A1 A2 a b c d 解： 同理，b=-2i+3j=(-2,3) c=-2i-3j=(-2,-3) d=2i-3j=(2,-3) y x O 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 j i 1 2 3 4 由图可知 a=AA1+AA2=2i+3j, a=(2,3) 2.3.3平面向量的坐标运算 两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差 实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相 应坐标． 2．已知 ．求 x y O 解： 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐 标减去始点的坐标． 例2.已知 ，求 的坐标。 解： a+b=（2，1）+（-3，4）=（-1，5）； a-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）； 3a+4b=3（2，1）+4（-3，4） =（6，3）+（-12，16） =（-6，19） 例４.已知平行四边形ABCD的三个顶点A , B , C 的坐标分别为（-2，1）（-1，3）（3，4），求顶点D的坐标。 A B C D O 解：设顶点D的坐标为（x，y） 例４.已知平行四边形ABCD的三个顶点A , B , C 的坐标分别为（-2，1）（-1，3）（3，4），求顶点D的坐标。 A B C D A B C D O O 随堂练习 坐标是 A、(3,2) B、(2,3) C、(-3,-2) D、(-2,-3) B A、x=1,y=3 B、x=3,y=1 C、x=1,y=-3 D、x=5,y=-1 B 标 坐标为 A、(x-2,y+1