第一章第2节-极限.ppt

(3) 无穷小的阶 为了比较两个无穷小趋于0的速度, 引入无穷小的阶。 当x→0时，x2→0 比x→0 速度“快些”； 反过来，x→0 比x2→0 速度“慢些”； sinx→0 与x→0 速度“快慢相仿”。 (3) 无穷小的阶 ① 则称 ? 是比 ? 高阶的无穷小, ② 设 是自变量同一变化过程中的无穷小, 记 则称 ? 是比 ? 低阶的无穷小; 定义. 为了比较两个无穷小趋于0的速度, 引入无穷小的阶. ③ 则称 ? 是 ? 的同阶无穷小; 例如 故当 x→0时，x3 是比 3x 高阶的无穷小, 记 。 (4)等价无穷小 若 或 则称 ? 与 ? 是等价无穷小, 记作 例如 故当 x→0时, tanx与 x 是等价无穷小, 故当 x→0时, ln(1+x)与x是等价无穷小, 当x→0时，常用等价无穷小: 例4. 证明: 证: 因此 即有等价关系: （补充） 等价无穷小替换定理（在极限计算中可简化计算） 且 存在 , 则 证: 例5. 设 例6(辨析) 解: 原式 错误原因: ①x→?, sinx不等价于x, ②和差不能代替 sin?不等价于? ; (1)定义1.8 当x→x0 (或x→∞) 时, 则称函数f (x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷大, 记作 2.无穷大量 若函数f (x)的绝对值 无限增大， 无穷大分两种情况：正无穷大、负无穷大 例如， (2)无穷小与无穷大的关系 若 为无穷大, 为无穷小 ; 若 为无穷小, 且 则 为无穷大。 则 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论。 定理. 在自变量的同一变化过程中, 说明: (不存在) 五、函数的连续性 1. 定义 有定义 , 可见 , 函数 在点 在 的某邻域内有定义 , 则称函数 (1) 在点 即 (2) 极限 (3) 设函数 连续必须具备下列条件: 存在 ; 且 存在 ; 左连续 右连续 2.初等函数的连续性 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续 一切初等函数在定义区间内连续 例如： 在区间 (端点为单侧连续) 的连续区间为 的定义域为 因此它无连续点 而 为连续函数 在点 在 在 3.函数的间断点 (1) 函数 (2) 函数 不存在; (3) 函数 存在 , 但 不连续 ， 设 的某去心邻域内有定义 , 若函数f (x) 而点 有下列情形之一: 虽有定义 , 但 虽有定义 , 且 称为f(x)的间断点 . 在 则称函数 f (x) 在点 无定义 ; 为间断点 。 为间断点 。 例如: (3) 为其间断点 。 定义1.10 设 二元函数 z =f (x, y) 记为 其中 P. 六、多元函数的极限与连续（以二元为例） P. 例1. 求 解: 故 0 解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) , 在点 (0, 0) 的极限. k 值不同 极限不同 ! 在 (0,0) 点极限不存在 。 例2. 讨论函数 定义1.11 则称函数f (x, y) 有定义，且 在点 连续。 设二元函数f (x, y)在点 的某一邻域 注1：设D为开区域或闭区域，如果z=f (x,y)在D上的 每点都连续，则称函数f (x, y)在D内连续。 注2：二元连续函数的和、差、积、商(分母不为零) 仍为连续函数;二元连续函数的复合函数为连续函数。 二元初等函数的连续性 一切二元初等函数在其定义区域内是连续的， 曲面. 例如 二元初等函数是由二元基本初等函数经过有限次 四则运算或有限次复合所形成。 其中定义区域指包含在定义域内的区域。 例3. 解： 是初等函数， 其定义域为 是f (x, y)在定义域D内的点， 故存在 的某个 邻域 而任何邻域都是区域， 故f (x, y)在 连续。 例4.求极限 解： 本节内容总结 一、极限的概念及性质 1.数列极限 2.函数的极限 左右极限 重要结论 本节内容总结 二、函数极限的运算法则 四则运算法则 复合函数极限运算法则 三、两个重要极限 本节内容总结 四、无穷小量与无穷大量 1. 无穷小量 重要结论 无穷小量的性质 无穷小量的阶 高阶、低阶、同阶 等价无穷小 替换定理 本节内容总结 2.无穷大量 无穷小与无穷大的关系 五、函数的连续性 初等函数的连续性 六、多元函数的极限与连续 本节作业 练习题1.2 ：1、2、4(1)(2) 复习题一 ：5、7、8、10、11、12、13 * * * 二、函数极限的运算法则 三、两个重要极限 一、极限的概念 第二节 极限 四、无穷小量与无穷大量 五、函数的连续性 六、多元函数的极限与连续 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 刘