-空间中平面及直线的方程.pptVIP

* 容易知道，直线上任一向量都平行于该直线的方向向量． * 上页 下页 铃 结束 返回 首页 ① 1.平面的方程 设一平面通过已知点 且垂直于非零向 称①式为平面?的点法式方程, 求该平面?的方程. 法向量. 量 则有 故 5-3 空间中平面与直线的方程 平面的点法式方程（1）可以化成 例1 已知一平面的法向量为（2，3，4），平面上一点 的坐标为（1，1，1），则该平面之方程是： 即 补例 求过三点 即 解 取该平面? 的法向量为 的平面 ? 的方程. 利用点法式得平面 ? 的方程 例2 已知一平面的方程为 解 于是 平面的一般方程 由于平面的点法式方程是x, y, z的一次方程, 而任一平面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定, 所以任一平面都可以用三元一次方程来表示 . 反过来, 可以证明任一三元一次方程Ax+By+Cz+D=0的图形总是一个平面. 方程Ax+By+Cz+D=0称为平面的一般方程, 其法线向量为n=(A, B, C). 例如, 方程3x-4y+z-9=0表示一个平面, n=(3,-4, 1)是这平面的一个法线向量. 例3 将平面的一般式方程 3x+4y+6z=1化成点法式方程. 解 先在平面上任意选定一点， 比如（-3，1，1）. 则有 平面的三点式方程 已知不在同一直线上的三点 与 不共线, 即 以 作为所求平面的法向量. 设 是平面上任一点, 显然 垂直于 此混合积的坐标形式为: 例4 设已知三点 求过该三点 的平面方程. 解 所求的平面方程是 特殊情形 ? 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面; ? 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量 平面平行于 x 轴; ? A x+C z+D = 0 表示 ? A x+B y+D = 0 表示 ? C z + D = 0 表示 ? A x + D =0 表示 ? B y + D =0 表示 平行于 y 轴的平面; 平行于 z 轴的平面; 平行于 xoy 面 的平面; 平行于 yoz 面 的平面； 平行于 zox 面 的平面. 平面的截距式方程 同理求得 平面的截距式方程为 例6 x+2y+z-1=0表示的平面在x,y,z轴的截距分别是 该平面在第一卦限内的部分如图. x y z o 两平面的夹角 设平面?1和?2的法线向量分别为 n1=(A1, B1, C1), n2=(A2, B2, C2), 那么平面?1和?2的夹角? 应满足 两平面的法向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角. 平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0互相垂直的充要条件是 A1A2+B1B2+C1C2=0. 两平面垂直的条件 两平面平行的条件 平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0互相平行的充要条件是 A1: A2=B1: B2=C1: C2. 平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0夹角的余弦: 例8 试决定常数 与 使得平面 解 两平面垂直要求其向量垂直，即有 分析： 点M在直线L上?点M同时在这两个平面上, ?点M的坐标同时满足这两个平面的方程. 2. 直线方程 空间直线可以看作是两个平面的交线. 设直线L是平面?1和?2的交线, 平面的方程分别为 A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0, 这就是空间直线的一般方程. 来表示. 那么直线L可以用方程组 空间直线的一般方程. 例9 联立方程 表示平行于yoz坐标面的平面 表示平行于xoz坐标面的平面 的解是(3,4,z), 其图形是平面x-3=0与y-4=0的交线，它平 行于z轴. x y z o 3 4 代表平面y=5x+1 与平面y=x-3的交线. 例10 联立方程 如果一个非零向量平行于一条已知直线, 这个向量就叫做这条直线的方向向量. 方向向量