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* 线与面、面与面的相对 位置关系 1.1 直线与平面、平面与平面平行 1.2 直线与平面、平面与平面相交 内 容 直线与平面、 两平面的相对位置 1.3 直线与平面、平面与平面垂直 点、直线、平面之间的相对位置 从属关系 平行关系 相交关系 属于直线的点 属于平面的点 属于平面的直线 直线与直线平行 直线与平面平行 平面与平面平行 直线与直线相交 直线与平面相交 平面与平面相交 ? ? ? ? 垂直关系 直线与直线垂直 直线与平面垂直 平面与平面垂直 ? ? 1. 平行问题 定 理 若直线平行于平面内一直 线，则该直线平行于平面。 反之，若直线平行于平面， 则在平面内必可作一直线与 该直线平行。 d d a b c a b c k k l l 直线 // 平面 平面 // 平面 定 理 若两平面内有一对相交直 线对应平行，则该两平面平行。 a b c b c a e f d f d e g g 过点K作直线平行已知平面 c a b a b c k k m m n n 可作多少条直线？ 满足条件的直线的轨迹是什么？ 例 若平面为特殊位置面(如铅垂面），过点作直线与之平行将如何？ 直线的水平投影应平行平面具有积聚性的投影 直线的正面投影呢？ 作平面与该平面平行呢？ m m n n a b c a b c k k n? ● ● a? c? b? m? a b c m n 例1：过M点作直线MN平行于平面ABC。 有无数解 有多少解？ ● ● n 正平线 例2：过M点作直线MN平行于V面和平面 ABC。 c? ● ● b? a? m? a b c m 唯一解 n? 有多少解？ 2. 相交问题 直线与平面相交--交点为共有点平面与平面相交--交线为共有线 求交问题的本质是求共有点 直线与平面相交， 其交点是直线与 平面的共有点。 两平面相交其交线为直线，其 交线是两平面的共有线，同时 交线上的点是两平面的共有点。 要讨论的问题： ● 求直线与平面的交点。 ● 判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。 求两平面的交线,即 ⑴ 确定两平面的两个共有点。 ⑵ 确定一个共有点及交线的方向。 几何元素相对 投影面的位置 均不具 有积聚 性投影 至少其一具 有积聚性投影 一般位置的相交问题 特殊位置的相交问题 换面法 k m(n) b ● m? n? c? b? a? a c 空间及投影分析 直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。 ① 求交点 ② 判别可见性 点Ⅰ位于平面上，在前；点Ⅱ位于MN上，在后。故k? 2?为不可见。 1?(2?) 2 ● 1 ● 作图 用面上取点法 特殊位置的相交问题 直线与平面相交 直线为特殊位置 ● k? ● 求直线与平面的交点 ?k k 判别可见性 例1 b e b a c a c f e?f K e f e f 求直线与平面的交点 k k 例2 K 一平面为特殊位置 平面是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与ef的交点即为K点的水平投影。 求二平面的交线 m n n m 例3 b a c a b c M N 一平面为特殊位置 a b c c b a d f e d e f 交线为正垂线 判别可见性 m n m(n) 这种相交形式 称为互交 两平面为特殊位置 3.垂直问题 直线与平面垂直 几 何 定 理 若一直线垂直于某平面，则此直线 必垂直于该平面内的一切直线。反之 若一直线垂直于某平面内二相交直线 则此直线必垂直于该平面。 V H A B E C D c d a b c e a b AB?P（DCE） CD//V CE//H ab ? cd ab ? ce 若直线垂直于平面，则直线的水平投影 垂直于平面内水平线的水平投影；直线的 正面投影垂直于平面内正平线的正面投影 直线投影方向如何确定 例 过点A作直线垂直于平面 a a b b 两平面垂直 几 何 定 理 若一直线垂直于某平面，则包含此直 线的一切平面均垂直于该平面。反之， 若两平面相互垂直，则由平面A内任一 点向平面B所作的垂线必在平面A内。 例 过点A作平面垂直于平面 a a b b 分析 包含已知平面的垂线的平面?已知平面 ?过点A作直线?已知平面 ?包含该垂线作平面 作图步骤 c c 平面ABC为所求 小 结 点在三投影面体系中的投影作图是解决一切问题的基础 熟练掌握各种位置直线、平面的投影特性 特别要注意H面投影与W面投影的关系 特别是特殊位置直线、平面的投 影特性 垂直问题 直线?平面 直线?平面 平面?平面 直线投影方向的