第七章 矩阵函数.doc

第七章 矩阵函数 在定义了矩阵范数之后，便可以度量线性空间中矩阵的大小和矩阵间的接近程度，进而引入极限的概念，并基于此建立矩阵分析理论。本章将介绍矩阵序列和矩阵级数的定义和收敛性判断，并给出矩阵函数的定义和计算方法。 §7.1 矩阵序列与极限 本章中数域均指(或)，所讨论矩阵均为方阵，非方阵的情况按照相应的范数也可类似定义。 我们把阶矩阵序列，简记为，其中 ， 显然，一个阶矩阵序列中各矩阵的所有对应位置构成个数列，其中。 定义1 设矩阵序列 ()，其中，若个数列都收敛，即存在数，使得 则称矩阵序列是收敛的，并把矩阵称为的极限，或称收敛于，简记为 或 若这个数列中至少有一个不收敛，则称矩阵序列是发散的。 例1 讨论阶矩阵序列和的敛散性，其中，。 解 因为，，，故有，即矩阵序列是收敛的。又因为数列的极限不存在，故矩阵序列是发散的。 若把向量看做是特殊的矩阵序列，则向量序列收敛的定义类似可得。 由定义1可知，一个矩阵序列的收敛等价于个数列的收敛，但用初等分析的方法来研究未免有些繁琐，因此可以借助矩阵范数将矩阵序列的敛散性与一个数列的敛散问题等价。 定理1 阶矩阵序列收敛于矩阵的充要条件是，其中范数为任一种矩阵范数。 证明 由矩阵范数的等价性可知，必存在实数，使得对于任意的矩阵都有 故有 即可通过矩阵的范数来进行定理证明。 必要性。 设，由定义1可知，对于每一个都有，即 于是 即 故有对于矩阵的任意范数都有 充分性。 因为，则有。因此，对于每一个都有 此即 于是 根据矩阵范数的等价性可知，定理1对于任何一种矩阵范数都成立。 定理2若矩阵序列收敛，则其极限是唯一的。 证明 假设矩阵序列收敛极限不唯一。不妨设阶矩阵序列收敛于矩，同时收敛于矩阵，且。则至少存在一组，使得，其中。即对于数列来说有 且 这与收敛数列极限的唯一性相悖，故假设不成立，得证矩阵序列收敛极限唯一。 由于矩阵序列收敛的充分必要条件是各元素组成的数列收敛，而数列的极限是唯一的，因此矩阵序列的极限也是唯一的。 定理3若矩阵序列收敛，则此矩阵序列有界。即存在正数，使得对一切都有。 证明 设序列收敛于，即，亦即对，存在，使得时，有 从而 。取，即有 利用数列收敛的概念和定理1，容易得到如下的性质。 (1) 设，，其中，则 (2)设，，其中，则 (3) 设，且，则 (4) 设，且均可逆，则矩阵序列也收敛，且 证明 (1) 因为 故 (2) 由于 又由已知条件可知，，再由有界，故知 即 (3) 由(2)，令，则，故有。 再将看成，看成，则有。 (4) 因为此时，，()，设为的伴随矩阵，则有 故 注：性质(4)中的的可逆性是不可少的，因为的可逆不能保证一定可逆。 例2 讨论矩阵序列的收敛性及其极限的可逆性。 解答 显然每个都是可逆的，且。 而的极限为 它是不可逆的。 定理 设且，则收敛。 证明 先证对角线上元素序列收敛。 由条件，对任意的，有 取，即第个位置为1，其余位置均为，代入上式得(设)， 故的极限存在。 再证一般的元素序列收敛()。 将上面的换成，得 故收敛。再由和都收敛知收敛，因此存在。 现在考虑由矩阵的幂所构成的矩阵序列的收敛性。 定理 设矩阵，则的充要条件是。 证明 设的标准形为 ，使得。其中特征值所对应的块具有如下形式 且 表示矩阵的互异特征值的个数，表示特征值所对应的代数重复度，且有，表示特征值所对应的子块的个数，表示特征值所对应的第个子块的维数。 于是 显然，的充要条件是。又因为 我们把子块分解成两项 其中 这个矩阵有一个很好的性质，即的幂次每增加1次，主对角线上方这排1就向右上方平移一次，特别有 于是由二项式定理有 其中 于是的充要条件是，，而的充要条件是。因此的充要条件是。 设矩阵，若存在矩阵范数，使得，则。 例3 判别矩阵序列的敛散性。 (1) (2) ，(3) 解 (1) 的特征值，故，因此由定理5有序列收敛，且。 (2) 与1的大小关系。由于，由定理知收敛，且。的特征值，因此有。所以发散。时，矩阵序列发散。因为，则至少存在一个，则由的具体形式可知其对角线元素构成的数列发散，故矩阵序列发散，从而发散。 例，试判序列的敛散性。的特征值，则有矩阵的，此时利用定理5及其推论无法判断序列的敛散性，但可按照定理5的证明思路来分析。的标准形 即存在可逆阵，使得，从而有 因此有 所以发散。 例 设，讨论取何值时收敛于。 解的特征值，故的谱半径由本节定理，当时，矩阵序列收敛于。 §7.2 矩阵幂级数 本节我们将给出矩阵级数的定义，并利用矩阵序列极限的概念讨论级数收敛及其相应的性质。这些内容会给矩阵函数的研究，微分方程的求解等问题带来方便。 7.2.1 矩阵级数的概念和性质 定义1 设(或)是一个矩阵序列，则称其无穷和 为