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第七章 等参数单元 第7章 等参数单元 第7章 等参数单元 7.1 等参元的基本概念 7.1 等参元的基本概念 7.1 等参元的基本概念 7.1 等参元的基本概念 7.1 等参元的基本概念 7.1 等参元的基本概念 7.1 等参元的基本概念 7.1 等参元的基本概念 7.1 等参元的基本概念 7.1 等参元的基本概念 则移置到单元有关节点上的等效节点载荷为 对于体积力，设单元上作用的体力为 移置到单元各节点上的等效载荷为 7.1 等参元的基本概念 对于表面力，设单元某边界上作用的表面力为 则这条边上三个节点的等效载荷为 式中, Γ是单元作用有面力的边界域, ds是边界域内的微段弧长。 则移置后，对于具有N个单元的结构系统的载荷列阵可表示为 7.1 等参元的基本概念 例7-1，利用等参坐标变换，可以使局部坐标系下的母单元同整体坐标系下的子单元存在一一对应的关系。如图7-3所示的四变形单元，假如母单元上的有一点。试求与A点相对应的子单元中的点的坐标值；进一步，求解描述两种坐标之间的关系的雅可比矩阵。 （a）局部坐标系下母单元 （b）整体坐标系下的单元 图7-3 母单元与子单元 7.1 等参元的基本概念 解：由等参坐标变换有： （a） 代入点A（0.2,0.5）坐标，即=0.2，η=0.5，则可得点坐标为（5.7, 3）。 雅可比矩阵的表达式 各元素的具体值为 7.1 等参元的基本概念 分别代入节点1,2,3,4的坐标后可得 7.2 四节点四边形等参元分析 (1) 母单元的形函数 对于如图7-1所示的线性4节点四边形等参元（Bilinear isoparametric element），它在局部坐标系形函数如下 （7.16） 进行等参坐标变换，有 7.2 四节点四边形等参元分析 进行位移插值，有 7.2 四节点四边形等参元分析 (2) 应变矩阵 将上述等参元的位移模式代入弹性力学平面问题的几何方程，将会得到如下形式的、用应变矩阵B表示的单元应变分量计算式 7.2 四节点四边形等参元分析 其中 是单元节点位移列阵， ，( i=1, 2, 3, 4)。 为了求应变矩阵B，进行如下推导。由于形函数是局部 坐标的函数，需要进行偏导数的变换 7.2 四节点四边形等参元分析 上式中的雅可比矩阵的逆矩阵由式（7.10）给出，即 7.2 四节点四边形等参元分析 可见 （7.20） 式（7.18）应变矩阵中的每一项为 （7.21） 7.2 四节点四边形等参元分析 (3) 单元刚度矩阵 类似于平面三角形单元，应用虚位移原理也可以确定四 节点四边形单元的刚度矩阵表达式，即 又因为 所以，四节点四边形单元的单元刚度矩阵的最终表达式 可以写成如下形式： 7.2 四