第三章 曲线曲面设计1.ppt

比，若越小，且与前后邻弦边夹角的外角qi-1和q i(不超过时)越大，则修正系数就K i 就越大。 参数区间的规格化 我们通常将参数区间 规格化为[0, 1]， ，只需对参数化区间作如下处理： 3.1.5 参数曲线的代数和几何形式 我们以三次参数曲线为例，讨论参数曲线的代数和几何形式。 代数形式 上述代数式写成矢量式是 几何形式 对三次参数曲线，若用其端点位矢P(0)、P(1)和切矢P￠(0)、P￠(1)描述。 将P(0)、P(1)、P￠(0)和P￠(1)简记为P0、P1、P￠0和P￠1，代入 得 令： 可将其简化为： 上式是三次Hermite(Ferguson)曲线的几何形式，几何系数是P0、P1、P￠0和P￠1。 称为调和函数（或混合函数） 3.1.6 连续性 曲线间连接的光滑度的度量有两种： 函数的可微性：组合参数曲线在连接处具有直到n阶连续导矢，即n阶连续可微，这类光滑度称之为 或n阶参数连续性。 几何连续性：组合曲线在连接处满足不同于 的某一组约束条件，称为具有n阶几何连续性，简记为 。 反例： 若要求在结合处达到 连续或 连续，即两曲线在结合处位置连续： 若要求在结合处达到 连续，就是说两条曲线在结合处在满足 连续的条件下，并有公共的切矢 当a＝1时， 连续就成为 连续 若要求在结合处达到 连续，就是说两条曲线在结合处在满足 连续的条件下，并有公共的曲率矢： 这个关系可写为： 为任意常数。当 ， 时， 连续就成为 连续。 我们已经看到， 连续保证 连续， 连续能保证 连续，但反过来不行。也就是说 连续的条件比 连续的条件要苛刻。 3.1.7 参数曲面基本概念 一张定义在矩形域上的参数曲面可以表示为 可记为 示意图 参数曲面的几个基本概念 1.曲面上的点：将给定的参数值 代入参数方程，可得曲面上的点 2.曲面上一点的切向量(切矢)： 3.曲面上一点的法向量(法矢) 4.角点 5.边界线： 第三章 曲线曲面设计 几何造型技术是一项研究在计算机中，如何表达物体模型形状的技术。 描述物体的三维模型有三种: 线框模型、曲面模型和实体模型。 线框模型用顶点和棱边来表示物体。 由于没有面的信息，它不能表示表面含有曲面的物体； 它不能明确地定义给定点与物体之间的关系（点在物体内部、外部或表面上）。 表面模型用面的集合来表示物体，而用环来定义面的边界。 表面模型能够满足面面求交、线面消隐、明暗色彩图、数控加工等需要。 但在该模型中，只有一张张面的信息，物体究竟存在于表面的哪一侧，并没有给出明确的定义，无法计算和分析物体的整体性质。如物体的表面积、体积、重心等。 也不能将这个物体作为一个整体去考察它与其它物体相互关联的性质，如是否相交等。 实体模型能完整表示物体的所有形状信息，可以无歧义地确定一个点是在物体外部、内部或表面上。是最高级的模型。 这种模型能够进一步满足物性计算、有限元分析等应用的要求。 三维表面模型表示三维物体的信息并不完整，但它能够表达复杂的雕刻曲面，在几何造型中具有重要的地位，对于支持曲面的三维实体模型，表面模型是它的基础 几何造型的历史 曲面造型：60年代，法国雷诺汽车公司、Pierre Bézier、汽车外形设计的UNISURF系统。 实体造型：1973英国剑桥大学CAD小组的Build系统、美国罗彻斯特大学的PADL-1系统等。 独立发展起来，又合二为一。 主流：基于线框、曲面、实体、特征统一表示的造型设计系统 3.1 参数曲线和曲面 3.1.1 曲线曲面参数表示 显式表示:y=f（x） 隐式表示:f（x，y）=0 参数表示:P(t)=[x(t), y(t), z(t)] 显式或隐式表示存在下述问题： 1）与坐标轴相关； 2）会出现斜率为无穷大的情形(如垂线)； 3) 不便于计算机编程。 参数表示:曲线上任一点的坐标均表示成给定参数的函数。假定用t表示参数，平面曲线上任一点P可表示为： 空间曲线上任一三维点P可表示为： 参数表示例子： 直线 圆 参数表示的优点： （1）以满足几何不变性的要求。 （2）有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状 （3）对曲线、曲面进行变换，可对其参数方程直接进行几何变换。 （4）便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中断计算。 （5）便于用户把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间去。 （6）规格化的参数变量t∈[0, 1]，使其相应的几何分量是有界的，而不必用另外的参数去定义边界。 （7）易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化