第三章 刚体动力学基础3.ppt

Xi’an Jiaotong University Aiping Fang apfang@mail.xjtu.edu.cn 3 / 29 / 2012 求空心圆柱绕中心轴的转动惯量 例： 解： 为两个实心圆柱绕中心轴的转动惯量的差值 圆盘绕中心轴旋转的转动惯量为 实心圆柱绕中心轴的转动惯量为 空心圆柱绕中心轴的转动惯量为 z R1 R2 l m University physics AP Fang 求均匀的薄球壳绕直径的转动惯量 例： 解： R ? 切为许多垂直于轴的圆环 z m r University physics AP Fang 从半径为R 的均质圆盘上挖掉一块半径为r 的小圆盘，该系 统的质量为m,两圆盘中心O 和O′相距为d ，且(d + r) R d O O′ R r 挖掉小圆盘后，该系统对垂直于盘面, 且过中心轴的转动惯量 例： 解： 求： 使用补偿法 则填满后的总质量为m+m/ 设小圆盘的质量为m/ m University physics AP Fang 求均匀立方体(边长l、质量m)绕通过面心的中心轴的转动惯量 例： 解： 设 k是一个无量纲的量 C z 立方体绕棱边的转动惯量为 分成八个相同的小立方体 他们绕各自棱边的转动惯量为 · · · · 八个相同的小立方体绕棱边的转动惯量=JC 即 求 J 的标度变换方法： University physics AP Fang 3-3-4 刚体定轴转动定律的应用举例 University physics AP Fang 例1：一刚体系统，如图所示。 已知，两轮半径为 R、r，对轴的 转动惯量为 ，绳子与滑轮间无相对滑动， 求：两物的加速度、绳子的张力? 1 2 R r O 解： 如何确定 讨论： ? 充分利用角量与线量的关系 ? 转动定律与牛顿第二定律联用 例2：一个系统，如图示， 已知 现有一水平力作用于棒，距轴为 l’ 处， 求：轴对棒的作用力（也称轴反力）？ 解： 设轴对棒的作用力为 N , ? 质心运动定理 质点系 打击 中心 ? 质心运动定理与转动定律联用。 分析 University physics AP Fang 例3：一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平面内转动。初始时它在水平位置， 求：它由此下摆 ? 角时的 ?，? 以及棒受轴的力。 O l m ? C x 解： 下摆过程中， ？ 取质元 —— 重力对整棒的合力矩等于重力 全部集中于质心所产生的力矩。 dm ? 由转动定律： University physics AP Fang ? 法向加速度 ? 切向加速度 O l m ? C x dm University physics AP Fang University physics AP Fang 圆盘以 ?0 在桌面上转动,受摩擦力而静止 解： 例4： 求：到圆盘静止所需时间 取一质元 由转动定律 摩擦力矩 ? ? R University physics AP Fang z ? O 设系统包括有 N 个质量元 ,其动能为 各质量元速度不同， 但角速度相同 刚体的总动能 P ? 绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方乘积的一半 结论 取 3-4 刚体绕定轴转动的功能关系 3-4-1 刚体绕定轴转动的转动动能 University physics AP Fang ? O 功的定义 力矩作功的微分形式 对一有限过程 若 M = C ( 积分形式 ） 力的累积过程——力矩的空间累积效应 ? ? . P 3-4-2 力矩的功 ? 力矩功的矢量式 ? 功率 ? 讨论： ? 合力矩的功 ? 力矩的功就是力的功。 ? 内力矩作功之和为零。 University physics AP Fang University physics AP Fang 3-4-3 刚体绕定轴转动的动能定理 —— 力矩功的效果 对于一有限过程 绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过程中作用在刚体上所有外力所作功的总和。这就是绕定轴转动刚体的——动能定理 讨论： 当 力矩作正功 A 0 当 力矩作负功 A 0 例：一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平 面内转动，初始时它在水平位置 解： 由动能定理 求：它由此下摆 ? 角时的 ? 此题也可用机械能守恒定律方便求解 O l m ? C x University physics