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3. 计算机图形学基础 3.1 基本图形生成算法 3.2 图形变换 图形变换的数学基础 向量运算 矩阵运算 二维变换 三维变换 3.2.1 二维变换 二维基本变换 比例变换 对称变换 错切变换 旋转变换 平移变换 二维组合变换 比例变换 对称变换 旋转变换 平移变换 齐次坐标 齐次坐标的几何意义 齐次坐标的特点 二维齐次变换矩阵 小结 二维组合变换 绕任意点旋转变换 组合变换顺序对图形的影响 3.2.2 三维图形变换 比例和对称变换 整体缩放 得到： 左边同乘 s 平移变换 旋转变换 三维组合变换 3.2.3 投影变换 正交投影 正交投影 轴测投影 透视投影 复杂变换是通过基本变换的组合而成的，由于矩阵的乘法不适用于交换律，即： [A][B] ≠[B][A] 因此，组合的顺序一般是不能颠倒的，顺序不同，则变换的结果亦不同，如图所示。 三维图形的变换是二维图形变换的简单扩展，变换的原理还是把齐次坐标点(x,y,z,1)通过变换矩阵变换成新的齐次坐标点(x’,y’,z’,1)，即 其中T为三维基本(齐次)变换矩阵： T ＝ 齐次变换矩阵： 平移 缩放 旋转 错切 透视变换 整体缩放 一般情况，sx,sy,sz＞0，图形沿三个坐标轴方向作放缩变换； 当sx=1,sy=sz=-1时，图形相对于x轴中心对称，其余类推; 当sx＝-1,sy=sz=1时，图形相对于yOz平面对称，其余类推; 当sx=sy=sz=-1时，图形相对于原点中心对称。 平移变换矩阵 与二维组合变换一样，通过对三维基本变换矩阵的组合，可以实现对三维物体的复杂变换。设坐标P经过n次变换T1,T2,…,Tn到P*，则变换结果为 P*=PT1T2…Tn=PT 与二维相同，组合变换时，同样需要注意乘法的顺序 绕任意轴旋转变换 绕任意轴旋转变换是组合变换，变换过程比较复杂。首先，对物体作平移和绕轴旋转变换，使得所绕之轴与某一根标准坐标轴重合。然后，绕该标准坐标轴作所需角度的旋转。最后，通过逆变换使所绕之轴恢复到原来位置。这个过程须由7个基本变换的级联才能完成。 设旋转任意轴为p1（ x1,y1,z1 ）, p2（ x2,y2,z2 ）两点所定义的单位矢量(a,b,c)。旋转角度为?（图(a)) 。这7个基本变换是： 1平移T(－x1,－y1,－z1)使p1点与原点重合(图(b))； 2Rx(α)，使得轴p1p2落入平面xoz内(图(c))； 3Ry(β)，使p1p2与z轴重合(图(d)); 4Rz(θ)，执行绕p1p2轴的θ角度旋转(图(e))； 5Ry(－β)，作3的逆变换T3-1 ； 6Rx(－α)，作2的逆变换T2-1 ； 7T(x1,y1,z1) 作1的逆变换 T1-1 。 注意： 其组合变换矩阵为： T ＝ T1? T2? T3? T4? T3-1? T2-1? T1-1 例：简单几何体的图形变换 式中：T为所要进行的图形变换矩阵 假定一六面体ABCDEFGH各点的坐标分别为（x 1, y 1, z 1）,….., (x 8, y 8, z 8)，则经过图形变换后的坐标为： 将三维图形向二维平面上投影生成二维图形表示的过程称为投影变换。 根据视点的远近，投影分为平行投影和透视投影。当投影中心(观察点)与投影平面之间的距离为无穷远时，为平行投影，否则为透视投影。 透视投影的图形与眼睛观察景物的原理及效果是一致的，因而常用于图形的真实效果显示。由于平行投影后直线间的平行关系不变，因而它常用于三维图形交互和生成工程图的视图。 投影变换分类: 投 影 平行 投影 透视 投影 正平行 投影 斜平行 投影 正交投影 正轴测 投影 正等测投影 正二测 正三测 斜等测 斜二测 一点透视 二点透视 三点透视 投影方向垂直于投影平面时称为正平行投影，正交投影（也称正投影）是正平行投影的特殊形式，其投影平面相互垂直，常用于生成工程图的三视图 设模型坐标为P(x,y,z)，投影坐标系的x轴向右，y轴向上，z轴垂直于纸面向外，投影后的坐标为P’(x’,y’,z’)，有 P’＝PA，A为投影变换矩阵，可以看成从投影坐标系到模型坐标系的变换矩阵。 在采用第一角画法的三视图中，各视图的投影矩阵为 主视图 俯视图 左视图 平移量 将三维图形绕其模型坐标系的x轴和y铀分别旋转一定的角度后，再垂直于xOy平面向该平面投影，可获得具有立体感的轴测图。 或者，当视点在模型空间的任意位置E(a,b,c)向坐标原点观察时，将图形沿观察方向向垂直于视线的平