第三部分 第三章：二维随机变量的联合概率分布 双份.doc

第三部分　概率论与数理统计 第三章　二维随机变量的联合概率分布 [考试内容] 随机变量的联合分布函数，离散型随机变量的联合概率分布、边缘分布和条件分布，连续型随机变量的联合概率密度、边缘密度和条件密度，随机变量的独立性和相关性，常见二维随机变量的联合分布，两个及两个以上随机变量简单函数的概率分布。 [考试要求] 1．理解随机变量的联合分布函数的概念和基本性质； 2．理解随机变量的联合分布的概念、性质及两种基本形式：离散型联合概率分布和连续型联合概率密度，掌握两个随机变量的联合分布的边缘分布和条件分布； 3．理解随机变量的独立性及不相关的概念，掌握离散型和连续性随机变量独立的条件，理解随机变量的不相关与独立性的关系； 4．掌握二维均匀分布和二维正态分布，理解其中参数的概率意义。 5．会根据两个随机变量的联合概率分布求其函数的概率分布，会根据多个独立随机变量的概率分布求其函数的概率分布。 [命题特点] 本章一般出计算题，近年来二元函数的分布比一元的分布考得更多一些。 　 [内容综述] 一、多维随机变量的概念 二维随机变量：随机试验E的样本空间为，设和是定义在上的随机变量，由它们构成的一个向量，叫做二维随机向量或二维随机变量．（若有个定义在上的随机变量，，…，由它们构成的维向量叫做维随机向量或维随机变量） 二、二维随机变量的联合分布函数、联合概率密度的概念与性质 1. 联合分布函数： ． 　　分布函数的基本性质： 1）是关于x或y的非减函数，即 对于固定的y，若x1＜x2，则F（x1，y）≤F（x2，y）； 对于固定的x，若y1＜y2，则F（x，y1）≤F（x，y2）． 2）0≤≤1． 且 ；； ；． 3）对每个变量右连续，即 ，． 4）根据概率可加性，对于如图任意 ． 2. 二维离散型和连续型随机变量的分布： 1）二维离散型随机变量：如果二维随机变量的所有可能的值是有限对或可列无限多对，则称是离散型的随机变量．其分布律（联合分布律）为 　　　　， 满足：①　；　②　；　③　． 2）二维连续型随机变量：如果对于二维随机变量的分布函数，存在非负函数，使对于任意实数有，则称为连续型的随机变量，函数称为的（联合）概率密度． 满足：①　；　②　； 　 ③　在的连续点处有； ④　随机点落在平面区域内的概率为　． 三、二维随机变量的边缘分布与联合分布的关系 1. 边缘分布函数 　　， 　； 2．二维离散型随机变量的边缘律及分布函数 　　　 　 ， ； 3．二维连续型随机变量的边缘概率密度 　　　　，　　． (联合分布可唯一确定边缘分布，反之未必成立!!!) 四、了解二维随机变量的条件分布 ( 这几年考试内容明显增多 ) 1. 条件分布函数　 　 称为在条件下的条件分布函数； 　 称为在条件下的条件分布函数． 2．离散型随机变量的条件分布律 　　　　 　　　称为在条件　下的条件分布函数； 　　　　　 称为在条件　下的条件分布函数． 3．连续型随机变量的条件概率密度 　　　　称为在条件下的 条件概率密度； 　称为在条件下的 条件概率密度． (注意与第一章中条件概率的计算作比较) 五、理解随机变量独立性的概念(相关性) 若对于所有，有 ， 即　　　　， 则称随机变量和是相互独立的． 相对离散型，和相互独立的充分必要条件是： 　　， 即　； 相对连续型，和相互独立的充分必要条件是： 　　． 应熟练应用随机变量的独立性进行概率计算． (注意独立与相关的联系与区别) 六、掌握求两个随机变量的函数的分布 ( 离散的仍是表上作业法，连续的熟悉下面的几种类型 ) 1．两个随机变量和的分布，即的分布 　　　； 当和相互独立时， （称为卷积公式） 2．及的分布 　　　和相互独立时， 1）的分布： ； 2）的分布： ． 七、重点与难点　 重点：二维随机变量的概念，二维随机变量的联合分布函数、分布律、概率密度、独立性、条件概率和边缘分布，二维随机变量的函数的分布及概率密度，特别是、、的分布． 难点：已知联合概率密度求联合分布函数、条件概率；已知（,）的分布求、、的分布． 3． 一些说明：联合分布函数与联合概率密度中的常数常由及的各个性质来确定． 　　　　求联合分布函数时，首先要定出联合概率密度，再根据的条件及随机变量所满足的不等式等，正确的画出二重积分区域，将二重积分化为累次积分去计算． 题型一：求二维随机变量的概率分布 题型二：有关条件分布问题 题型三：随机变量的独立性 题型四：二维随机变量函数的分布及概率的计算 　　　　　 题型一：求二维随机变量的概率分布 　　　　　 　　　　离散的情形： 例1．一个箱子里装有12只开关，其中2只是次品，现随机地抽取两次，每次只取一只，考虑两种试验