第九章第11节空间向量在立体几何中的应用.ppt

解析： (1) 证明： ∵ ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 为长方体， ∴ A 1 D 1 ⊥ AE . 又 ∵ E 是 BB 1 的中点，且 BE ＝ EB 1 ＝ AB ＝ 1 ， ∴ A 1 E ＝ AE ＝ 2 . 又 AA 1 ＝ 2 ，在 △ A 1 EA 中， AE 2 ＋ A 1 E 2 ＝ AA 2 1 ， ∴ A 1 E ⊥ AE . 又 ∵ A 1 D 1 ∩ A 1 E ＝ A 1 且 A 1 D 1 ， A 1 E ? 平面 A 1 D 1 E ∴ AE ⊥ 平面 A 1 D 1 E . 求点到平面的距离、线面角、异面直线所 成的角 如右图所示，已知正三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 的棱长 为 2 ，底面边长为 1 ， M 是 BC 的中点． (1) 在直线 CC 1 上求一点 N ，使 MN ⊥ AB 1 ； (2) 当 MN ⊥ AB 1 时，求点 A 1 到平面 AMN 的距离； (3) 求出 AB 1 与侧面 ACC 1 A 1 所成的角的正弦值． 变式探究 3.(2009年银川一中月考) 如右图所示，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA＝AB＝1，PD与平面ABCD所成角是30°，点F是PB的中点，点E在边BC上移动． (1)点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由； (2)证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF； (3)当BE等于何值时，二面角P－DE－A的大小为45°. 解析：(1)当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行． ∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点， ∴EF∥PC.又EF?平面PAC，而PC?平面PAC， ∴EF∥平面PAC. (2) 证明：建立图示空间直角坐标系，则 P ( ) 0 ， 0 ， 1 ， B ( ) 0 ， 1 ， 0 ， F è ? ? ? ? ÷ ÷ ? 0 ， 1 2 ， 1 2 ， ∵ PD 与平面 A BCD 所成角是 30° ， ∴∠ PDA ＝ 30° ， ∴ AD ＝ 3 ， ∴ D ( ) 3 ， 0 ， 0 . 设 BE ＝ x ，则 E ( ) x ， 1 ， 0 PE → · AF → ＝ ( x, 1 ，－ 1)· è ? ? ? ? ÷ ÷ ? 0 ， 1 2 ， 1 2 ＝ 0 ， ∴ AF ⊥ PE . 　综合问题 　(2009年湖南卷)如右图所示 ，已知两个正四棱锥P－ABCD与Q－ABCD的高分别为1和2，AB＝4. (1)证明：PQ⊥ABCD； (2)求异面直线AQ与PB所成的角； (3)求点P到平面QAD的距离． 解析：(1)连结AC，BD，设AC∩BD＝O， ∵P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，∴PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD，从而P、O、Q三点共线． ∴PQ⊥平面ABCD. (2)由题设条件ABCD为正方形，∴AC⊥BD， 由(1)知PQ⊥平面ABCD，故可 分别以CA，DB、QP所在直线 为x轴、y轴、z轴建立空间直 角坐标系(如右图所示) 变式探究 4 ．如右图所示 ，在四棱锥 P － ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，侧棱 PA ⊥ 底面 ABCD ， AB ＝ 3 ， BC ＝ 1 ， PA ＝ 2 ， E 为 PD 的中点． (1) 求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值； (2) 在侧面 PAB 内找一点 N ，使 NE ⊥ 面 PAC ，并求出 N 点到 AB 和 AP 的距离． * * 第十一章 立体几何初步 第三节　空间向量在立体几何中的应用 课前自主学案 知识梳理 1．利用向量证明平行 (1)证线线平行(面面平行)方法：a＝λb(b≠0) ?a∥b. (2)证线面平行方法：方法1：利用共面向量定理，如果两个向量a、b不共线，则向量 c与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x，y，使c＝xa＋yb.方法2：证平面的法向量与该直线垂直． 2．利用向量证明垂直 (1)证线线垂直方法：a·b＝0?a⊥b. (2)证线面垂直方法：转化为证线线垂直. (2)直线和平面所成的角 法向量法：与平面的斜线共线的向量a和这个平面的一个法向量n的夹角〈a，n〉(或者说其补角)是这条斜线与该平面夹角的余角． (3)求二面角的大小 方法1: 构造二面角α－l－β的两个半平面α、β的法向量n1、n2(都取向上的方向)，则 ①若二面角α－l－β是“钝角型”的(如图甲)，那么其大小等于两法向量n1、n2的夹角的补角，即 ②若二面角α－l－β是“锐角型”的(如图乙)，那么其大小等于两法向量n1、n2的夹角，即 　 图甲