第二章 分子动理学理论的平衡态理论 习题解答.ppt

* 第二章 习题解答 2.2.1 图中列出了某量x的值的概率分布函数的图线。求常量A的值，使在此值下该函数成为归一化函数，然后计算x、x2和 的平均值 解： 按照归一化条件，概率分布曲线下的面积为1，则 因而概率分布函数为： 2.2.2 量x的概率分布函数具有形式 ，式中A 和 a 是常数，是写出x的值出现在7.9999到8.0001范围内的概率P 的近似表示式 解： 由归一化，有： 其中f(x)是偶函数，因而有 因而处于7.9999到8.0001范围内的概率为： 2.3.6 试将麦克斯韦速率分布化为按平动动能的分布，并求出最概然动能。它是否等于 ？为什么？ 分析：对于理想气体来说，麦克斯韦速率分布和按照平动动能的分布式完全等价的。也就是说， ，所以只要将 中的v以平动动能来表示，就得到按平动动能的分布。 解： 麦克斯韦速率分布为： 设最概然动能为?p，有： 可得最概然动能为： 由最概然速率所表示的动能为： 显然与最概然动能不相等。 这个差异来自于数学而不是物理： 函数形式： 且其导数的函数形式也不相等 2.4.1 因为固体的原子和气体分子之间有力的作用,所以在真空系统中的固体表面上会形成厚度为一个分子直径的那样一个单分子层.设这层分子仍可十分自由地在固体表面上滑动,这些分子十分近似地形成二维理想气体.如果这些分子是单原子分子,吸附层的温度为T,试给出表示分子处于速率为v到v+dv范围内的概率f(v)dv的表达式 解： 在xy平面上运动的二维理想气体的麦氏速度分布应当为： 设在二维速度空间中位置在vx~vx+dvx , vy~vy+dvy范围内的分子代表点数为dNvx,vy , 显然二维速度空间中的分子代表点的数密度为: 二维理想气体的麦氏速率分布表示了分子处在二维速度空间中，半径v~v+dv的圆环内的概率 二维理想气体的麦氏速率分布表示了分子处在二维速度空间中，半径v~v+dv的圆环内的概率 ，dNv是半径为v~v+dv的圆环内的分子代表点数，它等于圆环面积乘上分子代表点的数密度D，由A式可有： 所以分子处于速率为v~v+dv范围内的概率表达式为： 此即二维理想气体的麦克斯韦速率分布 2.4.4 设气体分子的总数为N,试证明速度的x分量大于某一给定值vx的分子数为 , 其中 证明： 速度的x分量分布为: 速度的x分量分布在0~vx的分子数为: 则有: 速度的x分量在0~∞之间的分子数为N/2, 所以: 2.5.2 一容器被一隔板分成两部分,其中气体的压强分别为P1、P2。两部分气体的温度均为T，摩尔质量均为Mm。试证明：如果隔板上有一面积为A的小孔，则每秒通过小孔的气体质量为 证明： 利用平均速率公式可以把气体分子碰壁数公式变换为： 在单位时间内通过单位面积小孔，隔板左边净增加的分子数为： 在dt时间内通过小孔的气体质量为： 2.5.5 若使氢分子和氧分子的vrms等于它们在地球表面上的逃逸速率，各需多高的温度？若使氢分子和氧分子的vrms等于月球表面上的逃逸速率，各需多高的温度？已知月球的半径为地球半径的0.27倍，月球的重力加速度为地球的0.165倍 解： 在离地球中心距离为R的高层大气中,必有某些气体分子的速率大于从该处脱离地球引力而逃逸的最小速率vmin,E（它称为逃逸速率）。这些分子向上运动时，只要不和其他分子碰撞就可以逃逸出大气层。 气体分子克服地球引力做功=气体分子逃逸时的初动能，故： 在忽略重力加速度随高度变化的情况下，可以用地球表面的数据替代，则： 利用近似关系： 其中gE、ME、RE是地球表面的重力加速度、地球质量、地球半径 同理可得月球表面的各关系式。代入数据有： 氢分子和氧分子的vrms分别等于地球表面上的逃逸速率时对应的温度： 氢分子和氧分子的vrms分别等于月球表面上的逃逸