第二章 方程(组)迭代法.ppt

《数值分析》 主讲教师 谭高山 Chapter2 Solutions of Equations in One Variable 2.0 引言 2.1 求实根的二分法 2.2 迭代法及收敛性 局部收敛性与收敛阶 2.3 Newton迭代法 Newton下山法 弦位法（割线法） 2.0 引言 2.1 求实根的二分法 2.2 迭代法及收敛性 2.2 迭代法及收敛性 2.2 迭代法及收敛性 2.2 迭代法及收敛性 局部收敛性 局部收敛性 局部收敛性 局部收敛性 收敛阶 收敛阶 收敛阶 2.3 Newton迭代法 几何意义（切线法） Newton迭代法几何解释 几何意义 Newton法局部收敛定理 Newton下山法 从Newton迭代法的收敛性可见，他仅是局部收敛的，为扩大收敛范围，可改进迭代公式为： 弦截法Secant Method Newton迭代法有一个较强的要求是 且存在。因此，用弦的斜率 近似的替代 。 几何意义 弦截法的几何解释 例题 例 用快速弦截法求方程 在区间（1，2）内的实根。 解：取x0=1,x1=2,代入公式2.4.2计算结果,如表2.4.1所示。 2.5* 解非线性方程组的Newton迭代法 2.6 最速下降迭代法（规划法）解非线性方程组 习题 例 3 试用迭代法求方程 在区间(1，2)内的实根。 解：由 建立迭代关系 k=10,1,2,3……. 计算结果如下: 精确到小数点后五位 但如果由 建立迭代公式 仍取 ，则有 ， 显然结果越来越大， 是发散序列 附： 证明函数 在区间[1，2]上满足迭代收敛条件。 证明： 若取迭代函数 ， 不满足收敛定理，故不能肯定 收敛到方程的根。 例题 例7 用Newton法求 的近似解。（局部收敛） 解：由零点定理。 3.79*10E-8 1.324717965 7 -4.273521*10E-5 1.324707936 6 -0.0036981168 1.323850096 5 0.053880579 1.337206444 4 -01.253112023 3 -01.166666667 2 5 2 1 -1 1 0 f(xk) xk k 据此抽出不动点形式，进而构造Newton迭代公式： 1.误差传播（例1） 2.二分法（例2） p53 3(a) 3.迭代法（例3、4、5、6） p63 3(b) 12(b) 4.牛顿迭代法 （例7） p74 1 2 * * 局限性：只能求一个实根，不能辨识重根或求复根，收敛速度对任何函数均一样且慢，对多元方程的情形须做修改。 INPUT a,b;TOL; maximum number of iteration N.OUTPUT approximation solution p or message of failure.Step 1 Set i=1;FA=f(a),give N Step 2 while i= N do step 3-6Step 3 set p=a+(b-a)/2; FP=f(p) Step 4 If FP=0 or (b-a)/2TOL then OUTPUT p; STOP. Step 5 Set i=i+1 Step 6 If FA·FP0 then set a=p ;FA=FP else set b=pStep 7 OUTPUT(‘method failed after N iteration,N=’,N)STOP Describe the Algorithm of Bisection 迭代法 求非线性方程f(x)=0的根的迭代解法是指从给定的 一个或者几个初始值出发，按某种方法产生一个解的序列， 该序列称为迭代序列