第二章1极限的定义与性质.ppt

* * 运行时, 点击“注”, 或按钮“注”, 运行计算该极限的过程, 运行结束自动返回. 第二章 第一节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限的定义与性质 一 、数列的极限 定义: 无穷多个实数按一定次序排成一列称为数列。 简记为 称为通项(一般项) . 若数列 及常数 a 有下列关系 : 当 n N 时, 总有 记作 此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 . 几何解释 : 即 或 则称该数列 的极限为 a , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如, 趋势不定 收 敛 发 散 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 已知 证明数列 的极限为1. 证: 欲使 即 只要 因此 , 取 则当 时, 就有 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 已知 证明 证: 欲使 只要 即 取 则当 时, 就有 故 故也可取 也可由 N 与 ? 有关, 但不唯一. 不一定取最小的 N . 说明: 取 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 设 证明等比数列 证: 欲使 只要 即 亦即 因此 , 取 , 则当 n N 时, 就有 故 的极限为 0 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、函数的极限 自变量变化过程的六种形式: 定义1 . 设函数 在点 的某空心邻域内有定义 , 当 时, 有 则称常数 A 为函数 当 时的极限, 或 即 当 时, 有 若 记作 几何解释: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 证明 证: 故 对任意的 当 时 , 因此 总有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 证明 证: 欲使 取 则当 时 , 必有 因此 只要 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 证明 证: 故 取 当 时 , 必有 因此 机动 目录 上页 下页 返回 结束 左极限与右极限 左极限 : 当 时, 有 右极限 : 当 时, 有 定理 1 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 设函数 讨论 时 的极限是否存在 . 解: 利用定理 3 . 因为 显然 所以 不存在 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 自变量趋于无穷大时函数的极限 定义2 . 设函数 大于某一正数时有定义, 若 则称常数 时的极限, 几何解释: 记作 直线 y = A 为曲线 的水平渐近线 机动 目录 上页 下页 返回 结束 A 为函数 例5. 证明 证: 取 因此 注: 就有 故 欲使 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 . 两种特殊情况 : 当 时, 有 当 时, 有 几何意义 : 例如， 都有水平渐近线 都有水平渐近线 又如， 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、极限的性质 机动 目录 上页 下页 返回 结束 保号性定理 定理1 . 若 且 A 0 , 证: 已知 即 当 时, 有 当 A 0 时, 取正数 则在对应的邻域 上 ( 0) 则存在 ( A 0 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理 2 . 若在 的某去心邻域内 , 且 则 证: 用反证法. 则由定理 1, 的某去心邻域 , 使在该邻域内 与已知 所以假设不真, (同样可证 的情形) 思考: 若定理 2 中的条件改为 是否必有 不能! 存在 如 假设 A 0 , 条件矛盾, 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 夹逼准则 定理3. 且 机动 目录 上页 下页 返回 结束 圆扇形AOB的面积 例6： 证: 当 即 亦即 时， 显然有 △AOB 的面积＜ ＜△AOD的面积 故有 注 注 目录 上页 下页 返回 结束 当 四、 无穷小与无穷大 定义1 . 若 时 , 函数 则称函数 例如 : 函数 当 时为无穷小; 函数 时为无穷小; 函数 当 为 时的无穷小 . 时为无穷小. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 因为 当 时, 显然 C 只能是 0 ! C C 时 , 函数 (或 ) 则称函数 为 定义1. 若 (或 ) 则