第二节 二元函数的极限.ppt

小结 1.两个累次极限可以相等也可以不相等，所以 计算累次极限时一定要注意不能随意改变它们 的次序. 例7?? 函数 ?关于原点的两个累次极限分别是 与 . 2.两个累次极限即使都存在而且相等，也不能 保证二重极限存在 例如 设 两个累次极限都存在 且相等. 但二重极限 却不存在. 3.二重极限存在也不能保证累次极限存在，即 二重极限存在时,? 两个累次极限可以不存在.? 例8?? 函数 由于 ，故由定义知 二重极限存在,且 但对任何 ，当 时 的第二项 不存在极限 * 第十六章 多元函数的极限与连续 §2 二元函数的极限 一 二元函数极限 回忆一元函数的极限. 设 y = f (x), 当 x 不论是从 x0的左边 还是从x0的右边无限接近于x0时, 对应的函数值无限接近于数 A. 表示 如图 x y A 0 f (x) f (x) y = f (x) x0 x x x ? x0 就是?? 0, ??0. 当0|x – x0| ? 时, 有|f (x) – A | ?. 设二元函数 z = f (X) = f (x, y), 定义域为D. 如图 D z = f (x, y) X X 如果当X在D内变动并无限接近于X0时 (从任何方向, 以任何方式),对应的函数值 f (X)无限接近于数 A, 则称A为当X趋近于X0时f (X)的极限. M X0 A y z x o f (X) 类似于一元函数, f (X)无限接近于数 A可用 | f (X)– A | ? 刻划. 而平面上的点 X = (x, y) 无限接近于点 X0 = (x0, y0) 则可用它们之间的距离 设二元函数 z = f (P) = f (x, y). 定义域为D. P0= (x0, y0)是 D 的一个聚点. A 为常数. 若 ?? 0, ?? 0, 当 对应的函数值满足 | f (P)– A | ? 则称 A 为z = f (P)的, 当 P 趋近于P0时(二重)极限. 记作 或 也可记作 f (P) ? A (P ? P0), 或, f (x, y) ? A (x ? x0, y ? y0 ) 定义1 注 定义中要求X0是定义域D的聚点, 这是为了保证 P0的任意近傍总有点P使得f (P)存在, 进而才有可能判断 | f (P)– A | 是否小于 ? 的问题. 若D是一区域. 则只须要求 就可保证 P0 是D的一个聚点. 说明： （1）定义中 的方式是任意的； （2）二元函数的极限也叫二重极限 （3）二重极限的几何意义： ?? 0，?P0 的去心? 邻域 o U(P0, ? )。 在 o U(P0, ? ) 内，函数 的图形总在平面 及 之间。 例1 用“ ”定义验证极限 证明??因为 先限制在点（2，1）的 的方邻域? 内讨论，则有 所以 于是 ，取 ，则当 时，就有 　　由二元函数极限定义知 ?? 例 求证 证 当 时， 原结论成立． 例2．设 证明 证明：? 对函数的自变量作极坐标变换 这时 等价于对任何 都有 .由于 ? 因此， ，只须取 ，当 时，不管 取什么值都有 所以? 定理16.5 的充要条件是：对于 的任一子集 ,只要 是 的聚点，就有 推论1 设 是 的聚点.若 不存在，则 也不存在 推论2 设 是它们的聚点， 但 ,则 不存在 若存在极限 推论3 极限 存在的充要条件是：对于 中任一满足条件 且 的点列 ，它所对应的函数列 都收敛. 上述定理及其推论相当于数列极限的子列定理 与一元函数的海涅归结原则 注意： 是指 P 以任何方式趋于P0 . 一元中 多元中 确定极限不存在的方法： (1) 令 ) , ( y x P 沿 ) ( 0 0 x x k y y - + = 趋向于 ) , ( 0 0 0 y x P ， 若极限值与 k 有关，则可断言极限不存在； (2) 找两种不同趋近方式，使 ) , ( lim 0 0 y x f y y x x ? ? 存在，但 两者不相等，此时也可断言 ) , ( y x f 在点 ) , ( 0 0 0 y x P 处极限不存在． 例3. 设f (x, y) = 证明 f (x, y)在 (0, 0)点的极限不存在. 证: 只须证明当X 沿不同的线路趋于(0, 0)时, 函数