第二节 点的坐标与向量的坐标.ppt

四、小结 空间直角坐标系 空间两点间距离公式 (注意它与平面直角坐标系的区别) (坐标轴、坐标面、卦限) 向量的坐标及向量线性运算的坐标表示法 向量的模与方向余弦的坐标表示式 向量的投影 第二节 点的坐标与向量的坐标 一、空间直角坐标系 二、向量的坐标及向量线性运算的 坐标的表示 三、向量的模、方向角和投影 一、空间直角坐标系1、空间直角坐标系的基本概念 Ⅶ Ⅱ Ⅲ Ⅵ Ⅴ Ⅷ Ⅳ 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系. 坐标原点 O . 坐标轴 x轴(横轴) y轴(纵轴) z 轴(竖轴) 过空间一定点 O, 坐标面 卦限(八个) zox面 Ⅰ 向径 坐标轴上的点 P, Q , R ; 坐标面上的点 A , B , C . 点 M 特殊点的坐标: 有序数组 (称为点 M 的坐标) 原点 O(0,0,0) ; 在直角坐标系下 坐标面: 坐标轴: 八个卦限上点 M(x,y,z) 的特点: 第I卦限上： 第II卦限上： 第III卦限上： 第IV卦限上： 第V、VI、VII、VIII卦限上的点依次把第I、II、III、IV卦限中z改为： 2、空间两点间的距离 设 M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) 为空间上的两点, 空间两点间距离公式 解 到 y 轴 ； 到 z 轴 ； 到 原点； 例1 求点 M(2,3,2) 到 x 轴的距离. 例 求点 M(x,y,z) 到各坐标轴、各坐标面的距离. 思考 求点 M(x,y,z) 关于坐标原点、各坐标轴、各坐标面的对称点. 例 求点 M(x,y,z) 到各坐标轴、各坐标面的距离. 到 x 轴的距离： 到 y 轴的距离： 到 z 轴的距离： 到 xoy 平面的距离： 到 yoz 平面的距离： 到 zox 平面的距离： 思考 求点 M(x,y,z) 关于坐标原点、各坐标轴、各坐标面的对称点. x 0 z y M点的对称点 关于xoy面: (x,y,z)? (x,y,-z) 关于x轴: (x,y,z)? (x,-y,-z) Q 0 关于原点: (x,y,z)? (-x,-y,-z) M(x,y,z) x R P (x,y,-z) (x,-y,-z) (-x,-y,-z) 解 设所求点为M (0, y, 0), 故所求点为M 解得 例2 在y轴上求与点A(1,2,3)和点B(2,3,2)等距离的 点坐标. ∵|MA|= |MB|, (1) 在 xoy 面上求与点A(1,2,3)和点B(2,3,2)等距离的点的轨迹方程? (2) 在空间中求与点A(1,2,3)和点B(2,3,2)等距离的点的轨迹方程 ? 思考题: (1) 设动点为M (x, y,0), 利用|MA|= |MB| , 得 提示: (2) 设动点为M (x,y,z), 利用|MA|= |MB| , 得 证明 原结论成立. 例3 求证以 A(2,1,9)、B(8,?1,6)、C(0,4,3)三点为顶点的三角形是一个等腰直角三角形. 二、向量的坐标及向量线性运算的坐标的表示 在空间直角坐标系下, 则 设点 M 的坐标为 M (ax , ay , az), 任意向量 可用向径 OM 表示. 此式称为向量 的标准分解式, 称为向量 沿三个坐标轴方向的分向量. 1. 向量的坐标表示 坐标.(coordinates) 坐标表示式. 若点M的坐标为(x, y, z), 则向径： 向量的分解表达式说明：任何向量可以表示为 的线性组合，组合系数 就是该向量的坐标. 2. 向量线性运算的坐标的表示 平行向量对应坐标成比例: 解 例1 设 M1 (1, 3, 4), M2(2, 1, 3), 求 例 例2 已知两点 A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2)及实数 ? ? ?1, 在直线AB上求一点 M ,使 解 设 M 的坐标为(x, y, z), 如图所示 得 即 说明 由 得定比分点公式: 点 M 为 AB 的中点 , 于是得中点公式: 三、向量的模、方向角和投影1. 向量的模 向量模长的坐标表示式 例1 设 求以向量 的平行四边形的对角线的长度. 为边 故对角线的长度分别为 对角线的长为 解 2. 方向角与方向余弦 与三坐标轴正向所成的 夹角? , ? , ? 称为 的方向角. 方向角的余弦称为其方向余弦. 方向余弦的坐标表达式 方向余弦通常用来表示向量的方向. 方向余弦的性质 特殊地：与 同向的单位向量 当已知