第二节 常数项级数的收敛判别法.ppt

在研究级数时，中心问题是判定级数的敛散性，如果级数是收敛的，就可以对它进行某些运算，并设法求出它的和或和的近似值但是除了少数几个特殊的级数，在一般情况下，直接考察级数的部分和是否有极限是很困难的，因而直接由定义来判定级数的敛散性往往不可行，这就要借助一些间接的方法来判定级数的敛散性，这些方法称为审敛法。 对常数项级数将分为正项级数和任意项级数来讨论。 一、正项级数及其审敛法 1.定义: 这种级数称为正项级数.这种级数非常重要，以后我们将会看到许多级数的敛散性判定问题都可归结为正项级数的收敛性问题 2.正项级数收敛的充要条件: 部分和数列 为单调增加数列. 定理 定理 1. 正项级数 收敛 部分和序列 有界 . 若 收敛 , ∴部分和数列 有界, 故 从而 又已知 故有界. 单调递增, 收敛 , 也收敛. 证: 注： 正项级数收敛的本质 —— un ?0足够快。 3.比较判别法 证明 即部分和数列有界 不是有界数列 定理证毕. 推论: 设 对一切 有 (1) 若强级数 则弱级数 (2) 若弱级数 则强级数 则有 收敛 , 也收敛 ; 发散 , 也发散 . 是两个正项级数, (常数 k 0 ), 且存在 解 由图可知 重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数 调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数. 若存在 对一切 解 例2 所以原级数收敛. 解 例3 例4 解 所以原级数发散. 所以原级数收敛. 比较审敛法是一基本方法，虽然有用，但应用起来却有许多不便，因为它需要建立定理所要求的不等式，须有参考级数，而这种不等式常常不易建立，为此介绍在应用上更为方便的极限形式的比较审敛法 注意： 4.比较审敛法的极限形式: (1) 时 , ; , ; , , ; 则 当 二级数有相同的敛散性 (3) 当 时 若 ? ￥ = 1 n n v 发散 则 ? ￥ = 1 n n u 发散 (2) 当 时，若 收敛 则 收敛 设 与 都是正项级数，如果 证明 由比较判别法, 可知两级数有相同的敛散性. 证明 由比较判别法可知, (注意：反之不对). 由(2)即得结论. 例5 例6 例7 例8 所以原级数发散. 收敛 发散 收敛 例9 解 例10 收敛. 解 例11 所以原级数发散. 例12 解 故原级数收敛； 故原级数发散. 证明 收敛 发散 比值审敛法的优点: 不必找参考级数.直接从级数本身的构成——即通项来判定其敛散性 注意: 例13 例14 收敛. 解 收敛. 解 例15 解 所以用比值法无法判断. 用比较法, 收敛. 解 例16 收敛. 例17 解 所以级数收敛. 例18 解 所以级数收敛. 例19 级数收敛. 解 * *