第二节 常数项级数.ppt

一、正项级数及其审敛法 定理2 (比较审敛法) 例1. 讨论 p- 级数 2) 若 调和级数与 p -级数是两个常用的比较级数. 例2. 定理3. (比较审敛法的极限形式) 例5. 判别级数 定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法) (2) 当 例7. 讨论级数 定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法) 说明 : 例8. 证明级数 二 、交错级数及其审敛法 用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性: 三、绝对收敛与条件收敛 定理7. 绝对收敛的级数一定收敛 . 例9. 证明下列级数绝对收敛 : 绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质. 内容小结 3. 任意项级数审敛法 思考与练习 备用题 2. 四、小结 其和分别为 *定理8. 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和. 说明: 证明参考 P203～P206, 这里从略. *定理9. ( 绝对收敛级数的乘法 ) 则对所有乘积 按任意顺序排列得到的级数 也绝对收敛, 设级数 与 都绝对收敛, 其和为 但需注意条件收敛级数不具有这两条性质. 1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 利用正项级数审敛法 必要条件 不满足 发 散 满足 比值审敛法 根值审敛法 收 敛 发 散 不定 比较审敛法 用它法判别 积分判别法 部分和极限 为收敛级数 Leibniz判别法: 则交错级数 收敛 概念: 绝对收敛 条件收敛 设正项级数 收敛, 能否推出 收敛 ? 提示: 由比较判敛法可知 收敛 . 注意: 反之不成立. 例如, 收敛 , 发散 . 1. 判别级数的敛散性: 解: (1) 发散 , 故原级数发散 . 不是 p–级数 (2) 发散 , 故原级数发散 . 则级数 (A) 发散 ; (B) 绝对收敛; (C) 条件收敛 ; (D) 收敛性根据条件不能确定. 分析: ∴ (B) 错 ; 又 C 2002年考研 3. * 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 第二节 一、正项级数及其审敛法 常数项级数的审敛法 第十三章 若 定理 1. 正项级数 收敛 部分和序列 有界 . 若 收敛 , ∴部分和数列 有界, 故 从而 又已知 故有界. 则称 为正项级数 . 单调递增, 收敛 , 也收敛. 证: “ ” “ ” 都有 设 且存在 对一切 有 (1) 若强级数 则弱级数 (2) 若弱级数 则强级数 证: 设对一切 则有 收敛 , 也收敛 ; 发散 , 也发散 . 分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有 是两个正项级数, (常数 k 0 ), 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨 (1) 若强级数 则有 因此对一切 有 由定理 1 可知, 则有 (2) 若弱级数 因此 这说明强级数 也发散 . 也收敛 . 发散, 收敛, 弱级数 (常数 p 0) 的敛散性. 解: 1) 若 因为对一切 而调和级数 由比较审敛法可知 p 级数 发散 . 发散 , 因为当 故 考虑强级数 的部分和 故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p- 级数收敛 . 时, 若存在 对一切 重要参考级数: 几何级数 , P-级数, 调和级数. 证明级数 发散 . 证: 因为 而级数 发散 根据比较审敛法可知, 所给级数发散 . 例3 证明 由比较审敛法,即得命题的结论 由正项级数的比较审敛法知级数 例4 收敛 则有 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0 (3) 当 l =∞ 证: 据极限定义, 设两正项级数 满足 (1) 当 0 l ∞ 时, 由定理 2 可知 同时收敛或同时发散 ; (3) 当l = ∞时, 即 由定理2可知, 若 发散 , (1) 当0 l ∞时, (2) 当l = 0时, 由定理2 知 收敛 , 若 是两个正项级数, (1) 当 时, 两个级数同时收敛或发散 ; 特别取 可得如下结论 : 对正项级数 (2) 当 且 收敛时, (3) 当 且 发散时, 也收敛 ; 也发散 . 的敛散性. ～ 的敛散性 . 解: 根据比较审敛法的极限形式知 例6. 判别级数 解: 根据比较审敛法的极限形式知 ～ 设 为正项级数, 且 则 (1) 当 (2) 当 证: (1) 收敛 , 时, 级数收敛 ; 或 时, 级数发散 . 由比较审敛法可知 因此 所以级数发散. 时 说明: 当 时,级数可能收敛也可能发散. 例如, p – 级数 但 级数收敛 ; 级数发散 . 从而 的敛散性 . 解: 根据定理4可知: 级