第五章 大数定律与中心极限定理(3-4.5学分).ppt

第五章 大数定律及中心极限定理5.1 大数定律 二.三个常用的大数定律 1.切比雪夫大数定律 2、伯努里大数定律 3. 辛钦大数定律 5.2. 中心极限定理一.依分布收敛 二.两个常用的中心极限定理 1、独立同分布中心极限定理 2.德莫佛-拉普拉斯中心极限定理(De Moivre-Laplace) * * 设{Xn}为随机变量序列，X为随机变量，若任给?0, 使得 则称{Xn}依概率收敛于X. 可记为 一.依概率收敛 例如: 意思是:当 a 而 意思是: 时,Xn落在 内的概率越来越大. ,当 设{Xk,k=1,2,...}为独立的随机变量序列，且有相同的数学期望?，及方差?2，则 即若任给?0, 使得 证明:由切比雪夫不等式 这里 故 设进行n次独立重复试验，每次试验中事件A发生的概率为p，记fn为n次试验中事件A发生的频率，则 证明:设 第i次试验事件A发生 第i次试验事件A不发生 则 由切比雪夫大数定理 若{Xk,k=1.2,...}为独立同分布随机变量序列, EXk=? ?, k=1, 2, … 则 推论: 若{Xi,i=1.2,...}为独立同分布随机变量序列, E(X1k) ?, 则 设{Xn}为随机变量序列，X为随机变量，其对应的分布函数分别为Fn(x), F(x). 若在F(x)的连续点，有 则称{Xn}依分布收敛于X. 可记为 (Levy-Lindeberg) 设{Xn}为独立同分布随机变量序列，若EXk=??，DXk= ?2 0，k=1, 2, …, 则{Xn}满足中心极限定理。 根据上述定理，当n充分大时 例1.将一颗骰子连掷100次，则点数之和不少于300的概率是多少？ 解:设 Xk为第k 次掷出的点数,k=1,2,…,100,则 X1,…,X100独立同分布. 由中心极限定理 设随机变量 ?n (n=1, 2, ...)服从参数为n , p(0p1)的二项分布，则 证明:设 第i次试验中事件A发生 第i次试验中事件A不发生 则 由中心极限定理 , 结论得证 例2 在一家保险公司里有10000个人参加寿命保险，每人每年付12元保险费。在一年内一个人死亡的概率为0.6%，死亡时其家属可向保险公司领得1000元，问： (1)保险公司亏本的概率有多大？ (2)其他条件不变，为使保险公司一年的利润不少于60000的概率不小于90%，赔偿金至多可设为多少？ 根据上述定理，当n充分大时 * * *