第五章 大数定律和中心极限定理w.ppt

§5.1 大数定律 §5.2 中心极限定理 第五章 大数定律与中心极限定理 §5.1 大数定律 给出几种大数定律： 切比雪夫弱大数定律、辛钦弱大数定律 科尔莫哥洛夫强大数定律、博雷尔强大数定律 讨论 “概率是频率的稳定值”（伯努利大数定律）的确切含义. 对大数定律的直观认识 学校有10000个学生，平均身高为a； 若随意观察1个学生的身高X1，则X1与a可能相差较大。 随意观察10个学生的身高X1, X2 ,…, X10 ，则10个数据的均值 (X1+X2+…+X10 )/10与a较接近； 若随意观察100个学生的身高X1, X2 ,…, X100 ，则100个数据 的均值(X1+X2+…+X100 )/100与a更接近； 若随意观察n个学生的身高X1, X2 ,…, Xn ，则当n为很大数时， n个数据的均值(X1+X2+…+Xn ) / n （样本均值） 与a（总体平均 值）充分接近. 5.1.1 大数定律问题的提法 依概率收敛 弱大数定律讨论的就是依概率收敛. 若对任意的 0，有 则称随机变量序列{Xn}依概率收敛于Y, 记为 设有随机变量序列X1, X2,…, Xn和随机变量Y 以概率1收敛 强大数定律讨论的就是以概率1收敛. 如果 则称随机变量序列{Xn}以概率1收敛于Y, 记为 设有随机变量序列X1, X2,…, Xn和随机变量Y 可以证明，若 则 常用的几个大数定律 大数定律一般形式： 若随机变量序列{Xn}满足： 则称{Xn} 服从大数定律. 切比雪夫大数定律 证明用到切比雪夫不等式. 切比雪夫弱大数定律的证明 辛钦弱大数定律 定理5.1.2 若随机变量序列{Xn}独立同分布，且Xn的数学期望存在，则 {Xn}服从大数定律. 伯努利大数定律 推论5.1.1（伯努利大数定律（频率收敛于概率）） 设 vn 是n重伯努利试验中事件A出现的次数，每次试验中 P(A) = p, 则对任意的  0，有 意义：随着n的增大，依概率意义讲，频率pn越来越接近概率p，而pn不接近p的可能性越来越小。 不能说： ，因为不管n有多大，仍可能有 pn 偏离p 的情形出现(虽然这些例外情形出现的概率趋于0)。 注 意 点 (1) 伯努利大数定律是切比雪夫大数定律的特例. (2) 伯努利大数定律是辛钦大数定律的特例. (3) 各大数定律的条件是不同的，使用时注意甄别. 5.1.3 强大数定律 推论5.1.2 就是博雷尔（Borel强大数定律）. 有关大数定律习题选讲 §5.2 中心极限定理 讨论独立随机变量和的极限分布, 本节指出极限分布为正态分布. 内容提要： 设 {Xn} 为独立随机变量序列，记其和为 独立同分布的中心极限定理 定理5.2.1 林德伯格—莱维中心极限定理 设 {Xn} 为独立同分布随机变量序列，数学期望为, 方差为 20，则{Xn}服从中心极限定理，即 林德伯格—莱维中心极限定理的推论 补充例1 每袋味精的净重为随机变量，平均重量为 100克，标准差为10克. 一箱内装200袋味精，求一箱味精的净重大于20500克的概率? 解: 设箱中第 i 袋味精的净重为 Xi, 则Xi 独立同分布， 且 E[Xi]=100，Var[Xi] =100， 由中心极限定理得，所求概率为： = 0.0002 故一箱味精的净重大于20500克的概率为0.0002. (很小) 补充例2 设 X 为一次射击中命中的环数，其分布列为 求100次射击中命中环数在900环到930环之间的概率. 解: 设 Xi 为第 i 次射击命中的环数，则Xi 独立同分布， 且 E[Xi] =9.62，Var[Xi] =0.82，故 = 0.00021 棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理是林德伯格—莱维中心极限定理的特例. 棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理还有另一种叙述形式. 二项分布的正态近似 定理5.2.2 棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理 设Yn 为服从二项分布 b(n, p) 的随机变量，则当 n 充分大时，有 二项分布是离散分布，而正态分布是连续分布， 所以用正态分布作为二项分布的近似时，可作 如下修正： 注 意 点 (1) 棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理的 应用有三大类： 注 意 点 (2) ii) 已知 n 和概率，求x ； iii) 已知 x 和概率，求 n . i) 已知 n 和 x，求概率； 例5.2.2 设某地区原有一家小电影院，现拟筹建一所 较大的电影院。根据分析，该地区每天平均看电影者 约有n=