第五章 晶体中的电子状态5.3.ppt

其中取： Ｏ 带入波动方程 讨论： (设 ) 离 较远 (1) 将能量 按 展开： Ｏ 只考虑了在微扰中简并态之间的的相互影响 使原来能量较高的 态能量提高，原来能量较低的 态能量降低。但修正项较小，所以能量改变不明显，能量曲线接近抛物线。 (2) 即 接近 时 当 时 将 按 展开： （2）而不能取两者之间的值。 其能量不连续间隔为： 当k＝nπ/a，能量曲线断开，能级间发生排斥作用，产生突变，使准连续的能级分裂成一系列的带，即能带。 4.布里渊区、能带和能隙 b.在准自由电子模型中，由于周期势场的微扰作用，波函数具有布洛赫函数的形式，能量有所修正： a.在零级近似下电子被看成自由粒子，能量与波矢呈抛 物线型 ，而波函数则是平面波形式。 当k不在nπ/a附近，能量修正较小； 当k在nπ/a附近，能量修正值较大； c.各能带之间的间隔为“带隙”或“能隙”或“禁带”，能隙大小为2┃Vn┃，在能隙中不存在能级，每个带大小为一个倒格子原胞长度即2π/a，包含等于晶体原胞数目N的量子态。 d.每一个能量连续区域称为布里渊区。当N很大的时候，k取值密集，可以看成能量准连续。 带3 带2 扩展布里渊区 带1 第一布里渊区 带1 第二布里渊区 第三布里渊区 带2 带3 V(x)变化越剧烈，Vn越大，能隙越宽。 简单验证： 每一个能带所占的k空间为一个布里渊区： 每一个能带中k取值可能数 每一个能带包含 个量子态 考虑自旋 e.每个能带包含2N个量子态 的取值： 相邻k取值间隔： 每一个能带中的状态数：N 考虑电子波波矢的周期性，将各个布里渊区平移 ，合并到第一布里渊区，得到简约布里渊区；将简约布里渊区图形按周期展开，得到周期布里渊区； 带3 带2 带1 周期布里渊区 简约布里渊区 扩展布里渊区 二. 三维情形 1. 零级近似 其中： 2. 微扰计算 其中 (倒格矢) 有能量跳跃： 当 或 时， 从原点出发与Gn的连线的垂直平分面方程 o 3. 布里渊区和能带交叠 a.布里渊区——在 空间，原点 与所有倒格点连线的垂直平分 面将 空间分割成的各个区域； 在布里渊区内，能量准连续变化； 每个布里渊区的大小为： 空间的维数 每个布里渊区(对应一个能带)所包含电子态数：2N 在布里渊区边界处，能量发生突变； 以二维作图为例，画出简单立方的二维布里渊区分布 大小 第一布里渊区 第二布里渊区 大小 每个布里渊区的体积相同 原点和6个近邻格点连线的垂直平分面围成的立方体 简单立方的第一布里渊区 原点和12个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体 体心立方晶体的第一布里渊区 原点和8个近邻格点连线的垂直平分面围成的正八面体，沿立方轴的6个次近邻格点连线的垂直平分面割去八面体的六个角，形成的14面体 —— 八个面是正六边形，六个面是正四边形 面心立方晶体的第一布里渊区 简立方 面心立方 体心立方 一区 二区 三区 b.能带交叠： 不同能带在能量上不能完全分隔开，能带间（主要是相邻能带）发生交叠现象。这是三维与一维的一个重要区别。 说明：B是第二布里渊区能量最低点，与第一布里渊区边界点A相邻，但能量是断开的，C是第一布里渊区能量最高点，且 ,此时发生能带1与能带2的交叠现象。 带2 带1 E E 沿OA方向 B A k C k 沿OC方向 3.2质量相同两种原子形成一维双原子链，最近邻原子间的力常数交错等于 和 ，并且最近邻的间距 1) 求出色散关系和分析计算 处格波的 2) 大致画出色散关系图 绿色标记的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 …… 红色标记原子位于2n， 2n+2， 2n+4 …… —— 第2n个原子和第2n＋1个原子的运动方程 试探解： 令： —— A、B有非零的解，系数行列式满足 —— —— 两种色散关系 —— 色散关系图 —— 两种色散关系 能量算符和平移算符具有共同的本征函数 平移算符彼此对易 平移算符和能量算符对易 周期势场模型下的晶体中，电子波函数为： 周期势场中的电子的运动状态： ∴平移算符的本征值是波矢k的周期函数:k=2π/a 平移算符的本征值及其物理意义 ——原胞之间电子波函数位相的变化 （2） 平移算符本征值量子数 简约波矢，不同的简约波矢，原胞之间的位相