第五章 第二节 Gauss-Seidel迭代法.ppt

* * 第二节 迭代法 一、 迭代格式 二 迭代法的收敛性 三、小结 一、 迭代格式 考虑方程组 (2.1) 即 以后，把它们代入（2.1）中第一个方程算出 对方程组（2.1）作迭代时，取定初始近似值 显然，迭代格式收敛的话，则 比 更接近于 的第一个分量 所以在计算 时，我们不再像 迭代法那样以 代入(2.1)中第二式的右边 ，而是把新算出的 及 代入该式右边，得到 即计算下一个分量时，要用到刚算出的新 分量。这样或许能收到更好的效果。按这 样方式建立的迭代格式称为 迭代格式，其一般形式为 (2.2) 用矩阵表示就是 (2.3) 其中， 由（2.3）式可知， 因 存在，所以迭代格式（2.3） 也可表示为 (2.4) 我们称 为 迭代法的迭代矩阵。 由（2.4）式 可见，对 方 程 组 作 迭代，等价于对方程组 (2.5) 作 迭代。 二 迭代法的收敛性 定理 3 对于任意右端向量和初始向量 ， 迭代法收敛的充要条件是 其中 由于对方程组 作简单迭代是一回事，故由定理1有 作 迭代同对方程组 即特征方程 的根的绝对值小于1。 而 由于 类似于定理2，我们还可以给出如下收敛的充分条件。 (2.6) 所以在实际问题中，只需求出方程 的根。 定理4 对 于 任 意 右 端 向 量 初 始 向量 ， 迭代法收敛的充分条件是 由此定理可知，条件(1）或(2）被满足时，则 迭代法与 迭代法都收敛。 可以证明，当条件(2）被满足时， 迭代法比 迭代法收敛得快些。 例4 分别用 和 迭代法解方程组 解 由于 ，故 迭 代 法 迭代法都收敛。 取 ，首先采用 迭代格式，计算求得 与其精确解 相比，其误差为 再利用 迭代格式，计算求得 其误差为 从此例可以看出，当充分条件(2）被满足时， 迭代法确实比 迭代法收敛快些。 然而， 迭代法并不总比 迭代法好。有时 迭代法还比 迭代法收敛得慢些，有时甚至在 迭代法收敛时，它却不收敛。 例5 设方程组 的系数矩阵为 试证明 迭代法收敛 ，而 迭代法不收敛。 证明 显然， 迭代法的迭代矩阵为 *