第五章-大数定律-中心极限定理.ppt

§2 中心极限定理 第五章 大数定律及中心极限定理 推论： 说明：这个公式给出了n 较大时二项分布的概率  计算方法。 定理（拉普拉斯定理） （1）局部极限定理：当n→∞时 （2）(积分极限定理)：当n→∞时 二项分布的近似分布 §2 中心极限定理 第五章 大数定律及中心极限定理 例1 车间有200台车床，它们独立地工作着，开 工率为0.6,开工时耗电各为1千瓦，问供电所至少 要供给这个车间多少电力才能以99.9%的概率保 证这个车间正常生产。 设至少要供给这个车间 r 千瓦电才能以99.9%的概 率保证这个车间正常生产。由题意有 解： 记某时刻工作着的车床数为 X， 则 X ~B(200,0.6). 第五章 大数定律及中心极限定理 即供给141千瓦电就能以99.9%的概率保证这个车 间正常生产。 §2 中心极限定理 §2 中心极限定理 第五章 大数定律及中心极限定理 用频率估计概率时误差的估计： 由棣莫佛-拉普拉斯定理知 §2 中心极限定理 第五章 大数定律及中心极限定理 第一类问题是 第二类问题是 问最少应做多少次试验？ 这时只需求满足下式的最小的 n, 第三类问题是 用这个关系式可解决许多计算问题。 §2 中心极限定理 第五章 大数定律及中心极限定理 例2 　 今从良种率为1/6的种子中任取6000粒，问能 以0.99的概率保证在这6000粒种子中良种所占的 比例与1/6的差的绝对值不超过多少？相应的良种 粒数在哪个范围内？ 解： 由棣莫佛-拉普拉斯定理 （第三类问题） 第五章 大数定律及中心极限定理 故近似地有 §2 中心极限定理 §2 中心极限定理 第五章 大数定律及中心极限定理 良种粒数X的范围为 §2 中心极限定理 第五章 大数定律及中心极限定理 例3 系统由100个相互独立起作用的部件组成，每 个部件的损坏率为0.1。系统要正常工作，至少有 85个部件正常工作，求系统正常工作的概率。 解： 由棣莫佛-拉普拉斯定理有 则 X~B(100,0.1)。 则整个系统能正常工作当且仅当 设X是损坏的部件数， 第五章 大数定律及中心极限定理 §1 大数定律 §2 中心极限定理 第五章 大数定律及中心极限定理 问题1 掷一颗均匀的正六面体的骰子,出现幺点的概率是1/6,在掷的次数比较少时,出现幺点的频率可能与1/6相差得很大.但是在掷的次数很多时,出现幺点的频率接近1/6几乎是必然的. §1 大数定律 第五章 大数定律及中心极限定理 即大量测量值的算术平均值具有稳定性。 这就是大数定律所阐述的内容。 测量的经验就是： 问题2：测量一个工件时，由于测量具有误差，为什么以各次的平均值来作为测量的结果？而且只要测量的次数足够多，总可以达到要求的精度？ 这两个例子说明： 在大量随机现象中,不仅看到了随机事件的频率具有稳定性,而且还看到大量测量值的平均结果也具有稳定性。这种稳定性就是本章所要讨论的大数定律的客观背景。 即,无论个别随机现象的结果如何,或者它们在进行过程中的个别特征如何,大量随机现象的平均结果实际上与每一个别随机现象的特征无关,并且几乎不再是随机的了。 大数定律以确切的数学形式表达了这种规律性,并论证了它成立的条件,即从理论上阐述了这种大量的、在一定条件下的、重复的随机现象呈现的规律性即稳定性. 第五章 大数定律及中心极限定理 §1 大数定律 （Law of??Big Numbers ） 大数定律的定义 切比雪夫大数定律 伯努利大数定律 辛钦定律 §1 大数定律 第五章 大数定律及中心极限定理 定义1 a 是一个常数；若对任意 想想：数列的收敛性定义，比较数列与随机变量序列  收敛性的区别。 一、定义 意思是: ,当 而 意思是:当 a 时,Yn落在 内的概率越来越大. §1 大数定律 第五章 大数定律及中心极限定理 定理0 依概率收敛的性质： 第五章 大数定律及中心极限定理 定义2 §1 大数定律 定理1(切比雪夫大数定律) 设X1,X2…是相互独立的随机变量序列,各有数学期望E(X1),E(X2), …及方差 D(X1),D(X2),… 并且对于所有k=1,2,…都有D(Xk)ι,其中ι是与k无关的常数,则任给ε0,有 随机变量的算术平均值 随机变量期望的算术平均值 将比较密地聚集在它的数学期望的附近.它与数学期望之差,当时n→∞,依概率收敛到0.这就是大数定律.切比雪夫定理为这一定律作出了精确的数学公式. 切比雪夫定理说明:在定理的条件下,当n充分大时,n个独立随机变量的平均数这个随机变量的离散程度是很小的.这意味,经过算术平均后得到的