第五章_大数定律与中心极限定理_2Lec.ppt

南昌大学基础数学 南昌大学基础数学 第五章 大数定律 和 中心极限定理 5.1 契比雪夫不等式 切比雪夫不等式说明，DX越小，则 越小， 越大， 也就是说，随机变量X取值 基本上集中在EX附近，这进一步说明了方差的意义。 同时当EX和DX已知时，切比雪夫不等式给出了概率 的一个上界，该上界并不涉及随机变X 的具体概率分布，而只与其方差DX和ε有关，因此， 切比雪夫不等式在理论和实际中都有相当广泛的应 用。需要指出的是，虽然切比雪夫不等式应用广泛， 但在一个具体问题中，由它给出的概率上界通常比较 保守。 5.2 大数定律 贝努里大数定律 这是历史上最早的大数定律，是贝努利在1713年建立的。作为概率这门学科的基础，其“定义”的合理性这一悬而未决的带根本性的问题,由贝努利于1713年发表的这个“大数定律”给予了解决，被称为概率论的第一篇论文,为概率论的公理化体系奠定了理论基础。之所以被成为“定律”,是这一规律表述了一种全人类多年的集体经验因此 ，对尔后的类似定理统称为大数“定律”。 契比雪夫大数定律 5.3 中心极限定理 独立同分布的中心极限定理 棣莫夫-拉普拉斯定理 注 意 点 (1) 二项分布是离散分布，而正态分布是连续分布， 所以用正态分布作为二项分布的近似时，可作 如下修正： 注 意 点 (2) 中心极限定理的应用有三大类： 一、给定 n 和 x，求概率 二、给定 n 和概率，求 x 三、给定 x 和概率，求 n 小结 * * 定理: 设随机变量X具有期望E(X)及方 差D(X),则?? 0,有: 或 例1 已知E(X)=100, D(X)=30,试估计X 落在(70,130)内的概率 解: P{70X130} =P{|X?100|30} 由契比雪夫不等式,得: ?0.967 契比雪夫不等式给出了在随机变 量X的分布未知情况下,事件{|X?E(X)| ?}或{|X?E(X)|≥?}的概率的一种估计方法 例2 已知某种股票每股价格X的平均值 为1元,标准差为0.1元,求a ,使股价超过 1+a元或低于1?a元的概率小于10% 解: 由契比雪夫不等式,得: 令 ?a2≥0.1 ?a≥0.32 我们曾经说, 频率是概率的反映,随 着观察次数的增大, 频率将会逐渐稳定 到概率. 这里是指试验的次数无限增大 时, 在某种收敛意义下逼近某一定数,这 就是所谓大数定律 设n次独立重复试验中事件A发生 nA次, 在每次试验中事件A发生的概率 为p,则?? 0,有: ∵令 由契比雪夫大数定律得出结论 ?E(Xi)=p, D(Xi)=p(1?p) 又 表明: 频率依概率收敛于概率p 以严格的数学形式表达了频 率的稳定性 设随机变量X1, X2, ... , Xn, ...相互独 立,且分别具有期望E(Xk)和方差D(Xk) (k =1,2,...),若方差有界,则?? 0,有: 由契比雪夫不等式,得: n?? 1 表明: 算术平均值依概率收敛于数学期望 例1 设随机变量Xk (k=1,2,...)相互独立, 具有同一分布: E(Xk)=0, D(Xk)=?2, 且 E(Xk4) (k=1,2,...)存在,试证明: ?? 0, [证]: 令Yk=Xk2 (k=1,2,...) 由已知, Yk (k=1,2,...)相互独立 E(Yk)=E(Xk2) =D(Xk)+E2(Xk) =?2 D(Yk)=E(Yk2) ?E2(Yk) =E(Xk4)??4 由契比雪夫大数定律: ?? 0,有 在一定条件下,大量独立随机变量 的和的分布以正态分布为极限分布的 这一类定理称为中心极限定理 的分布函数Fn(x)收敛到标准正态分布 函数. 设随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立, 服从同一分布,且具有期望和方差: E(Xk)=? , D(Xk)=?20 (k=1,2,…), 则随机变量 即?x?R ,满足: 注意到: 例如, P{aXb} 例3 某大型商场每天接待顾客10000人, 设每位顾客的消费额(元)服从[200, 2000] 上的均匀分布,且顾客的消费额是相互独 立的, 试求该商场的销售额(元)在平均销 售额上、下浮动不超过30000元的概率 解: 设第k位顾客的消费额为Xk (k=1,2,…,10000) 商场日销售额为X ,则 所求为: