第五讲：级数.doc

第五讲：级数 （一）数项级数 1. 知识范围 （1）数项级数：数项级数的概念 级数的收敛与发散 级数的基本性质 级数收敛的必要条件 （2）正项级数敛散性的判别法：比较判别法 比值判别法 （3）任意项级数：交错级数 绝对收敛 条件收敛 莱布尼茨判别法 2. 要求 （1）理解级数收敛、发散的概念。掌握级数收敛的必要条件，了解级数的基本性质。 （2）掌握正项级数的比值数别法。会用正项级数的比较判别法。 （3）掌握几何级数 ∑rn、调和级数与p级数的敛散法。 （4）了解级数绝对收敛与条件收敛的概念，会使用莱布尼茨判别法。 （二）幂级数 1. 知识范围 （1）幂级数的概念：收敛半径 收敛区间 （2）幂级数的基本性质 （3）将简单的初等函数展开为幂级数 2. 要求 （1）了解幂级数的概念。 （2）了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和、差、逐项求导与逐项积分）。 （3）掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间（不要求讨论端点）的方法。 （4）会运用ex，sinx，cosx，ln（1+x），1/（1-x）的麦克劳林（Maclaurin）级数，将一些简单的初等函数展开为x或x-x0的幂级数。 知识点讲授 第一单元 常数项级数的概念和性质 一、级数的定义 若给定一个数列 ，由它构成的表达式 (1) 称之为常数项无穷级数，，。 其中第项叫做级数的一般项。 (1)的前项之和 (2) 称为级数(1)的部分和。依次取时， ，，， 称此数列为级数(1)的部分和数列。 无限增大时，(1)的部分和数列(2)有极限， 则称级数(1)收敛，叫做级数(1)的和，； (2)无极限，(1)发散。 (1)收敛时，是级数和的近似值， 叫做级数的余项。 【性质一】如果级数收敛于和，所得的级数也收敛，。，。 ，分别收敛于与， 也收敛，。 1、若与收敛， (分配律) (一种结合律) 2、若收敛，发散，必发散。 3、均发散，可能收敛，。 ， 发散 如 ， 收敛 【性质三】在级数的前面去掉或加上有限项，，，。 。 1，。2、收敛的级数去括号之后所成级数不一定收敛。， 例如，收敛于零， 却是发散的。 ，若，则级数收敛，反之发散。 【例1】讨论等比级数的敛散性。 ：， (1)、当时，，， ，； (2)时，，，； (3)时， ， 若，则 不存在。时，。 【例2】讨论下面级数的敛散性。 1 2、 解1、 从而 因此，1是发散的。 2、 从而 因此，2收敛于。 ，则级数发散。是发散的。 ，级数是发散的。 3、定义： 若级数中的各项都是非负的( 即)，为正项级数。 、 (1)、若，收敛，亦收敛； (2)，发散，亦发散。，称作级数的比较级数，一般取级数。 当 时，； 时，。 （1） 发散 （2） 收敛 （3） 收敛 （4） 发散 （5） 收敛 【方法四】：比值审敛法（判断正项级数的收敛和发散） -------若正项级数适合 则 当时，； (也包括)时，； 时，。 1、 2、 解：1 由比值审敛法知，1是收敛的。 2 ， 由根值审敛法知，2是收敛的。 ，， (1) 或 其中均为正数。 (1) ； (2) 则交错级数收敛，，的绝对值。 是收敛的。 且 故此交错级数收敛，。 (1) 其中为任意实数，。 (1)各项的绝对值所组成的正项级数 (2) 如果级数(2)收敛，(1)绝对收敛；(2)发散，(1)收敛，(1)条件收敛。 (2)收敛，(1)亦收敛。，令，则 （1），绝对收敛；（2），发散。 【方法七】：（判断任意级数的绝对收敛和条件收敛） -------对于任意级数： (1)判断的收敛与发散【将任意项级数的敛散性判定转化成正项级数的收敛性判定，利用方法三、方法四】； (2)若收敛，则绝对收敛； (3)若发散，则判断的收敛和发散【利用方法一至五，较多用到方法四.但对于交错级数利用方法五、方法六】 若收敛，则条件收敛；若发散，则发散。 【例7】（1）判定任意项级数 的收敛性。 而收敛， 亦收敛， 收敛。 的收敛性。 发散，收敛， 非绝对收敛，。 的收敛性。 （4）讨论级数 的收敛性。 第三单元 幂级数 一、幂级数得定义 函数项级数中最常见的一类级数是所谓幂级数， (1) 或 (2) 其中常数