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第八章 无穷级数习题课 常数项级数 第八章 无穷级数习题课 函数项级数 * 一、定义及性质 2．敛散性定义 3．性质 必要性: 线性运算性质: 则级数收敛，否则级数发散。 设级数 为常数 则 设 ，如果 存在， 级数 收敛 1．常数项级数 4．常数项级数类型 正项级数 交错级数 任意项级数 常数项级数 二、判别常数项级数收敛的解题方法 若成立，则需作进一步的判别。 判别常数项级数 的敛散性，应先考察是否有 成立。若不成立，则可判定级数发散； 此时可将常数项级数分为两大类，即正项级数与任意项级数。 对于正项级数，可优先考虑应用比值法或根值法。若此 二方法失效，则可利用比较法（或定义）作进一步判别； 若不收敛，但级数是交错级数，可考虑应用莱布尼兹判 别法，若能判别级数收敛，则原级数条件收敛； 对于一般的任意项级数，则可考虑利用利用级数收敛定义、 性质等判别。 解题方法流程图如下图所示。 对于任意项级数，一般应先考虑正项级数 是否收敛。 若收敛，则可判定原级数收敛，且为绝对收敛； 解题方法流程图 Yes 判断 的敛散性 比值法 根值法 比较法 找正项收敛 级数 找正项发散 级数 用其它方法证明 No 莱布尼兹判别法 Yes No No No Yes No Yes No Yes 为正项级数 为任意项级数 发散 收敛 收敛 发散 　　条件收敛 绝对收敛 为交错级数 收敛 且 三、典型例题 ，由定义 所以原级数收敛，且和为1。 【例1】判别级数 的收敛性，并求级数的和。 分析：此级数为正项级数，由于 因此可利用定义求。 解： 由于 由级数收敛的必要条件，原级数发散。 【例2】判别级数 的收敛性。 分析：此级数为正项级数，因为 分别求分 子、分母的极限不为0，由级数收敛的必要条件，原级数发散。 解： 因为 而 故由比较审敛法的极限形式，原级数收敛。 【例3】判别级数 的收敛性。 分析：此级数为正项级数，根据 的形式，可用 比较审敛法，也可采用比值审敛法。 解法1：此级数为正项级数， 而级数 为等比级数收敛， 解法2：由比值审敛法 故由比值审敛法知原级数收敛。 ,由于 故转到应用比较判别法。由于 【例4】判别级数 的收敛性。 而 不存在 ，所以 不存在。 分析：此级数为正项级数，设 而级数 收敛，从而级数 收敛； 或将 拆成两个级数， 分别判定级数的收敛性。 同理 极限也不存在，即不能应用比值和根值判别法， ,由于 解法1：设 而由比值法 易知级数 收敛, 故由级数的比较判别法知，级数 收敛。 解法2：因为 所以，分别考虑 和 的敛散性。 对于 由比值法 知 收敛，所以， 绝对收敛； 同理得 收敛，可知原级数收敛。 收敛，故由比较审敛法，原级数收敛。 【例5】判别级数 的收敛性。 分析：此级数为正项级数, 由 的形式，利用比值 法和根值法均不合适，由于 , 可采用比较法。 解：此级数为正项级数， 令 注：应用比较法判断一个正项级数 的敛散性，最关键 问题是熟练掌握一批已知正项级数的敛散性（如几何级数， 级数等），然后根据 的特点，进行有针对性的放缩。 【例6】判别级数