第六章 空间几何分析.ppt

第六章 航天任务空间几何分析 6.1 球面三角基础知识 6.2 定向天线波束覆盖计算 6.3 地面站跟踪弧段计算 6.4 太阳角计算 6.5 地影时间计算 6.6 发射窗口分析 4）通过球面上不在同一直径上的两个点，能做且仅能做一个大圆。例如图6.2球面上的A和D两个点不在同一直径上，各在O A和 O D两个（延长线的）直径上。 由于不在一条直线上的三个点可确定一个唯一的平面，所以通过球心 O 和A 、D这两个点所确定的平面，即是通过球心的唯一的平面(参见图6.2 A OD ) 。 该平面和球面的交线就是唯一的大圆。 6.1.2 球面角 (1)大圆的极、轴和极线 （4）极线三角形 将已知球面三角形ABC的顶点作极（见图6.7），并使每一个顶点的两边各延长到90°的极线，则这些极线两两相交构成一新的球面三角形A′B′C′，这一三角形称为极线三角形。 1）原球面三角形ABC与极线三角形A′B′C′有如下关系： ①原球面三角形的顶点是极线三角形边的极； ②极线三角形的顶点是原三角形边的极。 关系①不需要证明，因为定义如此，即以球面三角形ABC的顶点作极，而做出的极线三角形。 下面证明②。 2）原球面三角形的角与极线三角形中对应边的和等于180°， 我们有 B = A1C1 b′= A′A1＋A1C1＋ C1 C′ 将上两式相加，得 B＋ b′= A′A1＋A1C1＋ A1C1＋ C1 C′ = A′C1＋A1 C′ 因为A′是 BC弧的极 ，所以弧A′C1=90°， 同样， C′是BA弧的极 ，所以弧A1 C′=90°， 所以 ， B＋ b′=180°。 同样， A＋a′ =180°， C＋ｃ′=180°。 3）极线球面三角形的角与原三角形中对应边的和等于180° 假设，过O点做三条直线O A、O B、O C的线束，组成以O为顶点的三面角，见图6. 10。 其中：∠ A O B=c ∠ B O C=a ∠ A O C=b 中心在三面角的顶点O，半径为R的球面截三面角，形成球面三角形ABC。球面三角形的三个边分别等于a、b、c，它们的角分别等于球面角A、B、C。 从图6.11可知，从球面三角形上任一顶点，例如A点，向对面BOC作垂线AM，通过直线AM作平面AMN （一条直线和不在该直线上的一点可做一平面）和AMK，并且使各个平面分别垂直于棱OB和OC，于是得 ∠MNA=B，∠MKA=C（立体几何中的二面角）， ∠AOB=c，∠BOC=a，∠AOC=b（球心角）。 取折线OKMN（即四边形）在ON上的投影，有 投影ON=投影OK+投影KM+投影MN 用R表示OA—球的半径，我们来研究四边形ONMK每边的长度，于是有 将上式R约去得： cos c = cos b cos a + sin b sin a cos C 这个公式可以这样读：球面三角形边的余弦等于其它两边余弦的乘积加上它们的正弦及它们夹角的余弦的连乘积。 同样，可以得到其它两个边的余弦公式，故有： cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A (6.1a) cos b = cos a cos c + sin a sin c cos B (6.1b) cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C (6.1c) 球面三角形边的余弦公式很重要，应用的较多。 6.1.6 角的余弦公式 极线三角形边的余弦公式是 cos a′ = cos b ′cos c ′+ sin b ′sin c ′cos A ′ 把极线三角形中的元素代以原三角形中对应的元素 （如a′=180°- A ），得 cos（180°- A）=cos（180°-B）cos（ 180°- C）＋sin（180°-B） sin（180°- C）cos（180°- a） 两边乘以-1，得 cos A = - cos B cosC + sin B sinC cos a (6.3a) 同样， cos B = - cos A cosC + sin A