第六章 刚体动力学1.ppt

Xi’an Jiaotong University Aiping Fang apfang@stu.xjtu.edu.cn 3 / 27 / 2008 第六章 刚体动力学 6-1 转动动能 转动惯量 一、转动动能 z ? O 设刚体包括有 N 个质量元 ,其动能为 各质量元速度不同， 但角速度相同 刚体的总动能 P ? 取 J 为刚体对一定轴的转动惯量 University physics AP Fang 绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方乘积的一半 结论 二、 转动惯量的计算 定义式 质量不连续分布 质量连续分布 dm m z University physics AP Fang (2) 当刚体质量一定，J 与质量分布有关 例：圆环绕中心轴旋转的转动惯量 dm O m R 转动惯量的三个要素 (1) J 与刚体的总质量有关 例：两根等长、质量均匀分布的 细木棒和细铁棒 绕端点轴 转动惯量 L z O x dm M ? x 质量分布的均匀性对圆环绕 中心轴旋转的转动惯量有影响吗? 问题： University physics AP Fang O L x dm M z L O x dm M z (3) J 与转轴的位置有关 例：质量均匀分布的圆盘绕中心轴旋转的转动惯量 R O m r dr University physics AP Fang 例：求均匀细棒对其一端点的转动惯量 M L 平行轴定理 z L C M z 刚体绕任意轴 刚体绕通过质心的轴 两轴间垂直距离 结论：刚体的转动惯量与刚体的质量、形状、大小、密度和转轴的位置均有关。 ? 国际单位制： University physics AP Fang 对薄平板刚体的垂直轴定理 y ri x z yi xi mi Δ o （仅对薄刚体板成立） 例：求对圆盘的一条直径的转动惯量 已知 垂直轴定理 y x z 圆盘 R C m University physics AP Fang 求空心圆柱绕中心轴的转动惯量 例： 解： 为两个实心圆柱绕中心轴的转动惯量的差值 圆盘绕中心轴旋转的转动惯量为 实心圆柱绕中心轴的转动惯量为 空心圆柱绕中心轴的转动惯量为 z R1 R2 l m University physics AP Fang 求均匀的薄球壳绕直径的转动惯量 例： 解： R ? 切为许多垂直于轴的圆环 z m r University physics AP Fang 从半径为R 的均质圆盘上挖掉一块半径为r 的小圆盘，该系 统的质量为m,两圆盘中心O 和O′相距为d ，且(d + r) R d O O′ R r 挖掉小圆盘后，该系统对垂直于盘面, 且过中心轴的转动惯量 例： 解： 求： 使用补偿法 则填满后的总质量为m+m/ 设小圆盘的质量为m/ m University physics AP Fang 求均匀立方体(边长l、质量m)绕通过面心的中心轴的转动惯量 例： 解： 设 k是一个无量纲的量 C z 立方体绕棱边的转动惯量为 分成八个相同的小立方体 他们绕各自棱边的转动惯量为 · · · · 八个相同的小立方体绕棱边的转动惯量=JC 即 求 J 的标度变换方法： University physics AP Fang 6-2 力矩 刚体转动定律 一、力矩 力 改变刚体的转动状态 刚体获得角加速度 定义： z ? O P h 力 F 的大小与 O 点到 F 的 作用线间垂直距离 h 的乘积 ? 矢量式 力矩是矢量 —— 反映力的大小、方向和作用点 在刚体的定轴转动中，力矩矢量只有两个指向 ? ? ? ? 质点获得加速度 改变质点的运动状态 University physics AP Fang (1) 力对点的力矩 —更为一般的物体转动 ? O . (2) 力对定轴的力矩 力对轴的力矩为 A (1) 力对任意点的力矩，在通过该点 的任一轴上的投影，等于该力对 该轴的力矩。 讨论 说明 A (2) 力矩随参考点而变 University physics AP Fang 例： 已知棒长 L ,质量 m，在摩擦系数为 ? 的桌面转动 (如图) 解： 根据力矩 x L ? O m x dx T T T T 例如 T T 在定轴转动中，力矩可用代数值进行计算 ? 求： 摩擦力对转轴的力矩 University physics AP Fang 刚体的转动定律 作用