第六章 变换编码.ppt

变换编码 变换编码(Transform Coding)：将信源输出分解/变换为其组成部分，然后根据每个成分的特性分别进行编码 主要内容 Karhunen-Loéve变换(KLT) 离散余弦变换(discrete cosine transform, DCT) 变换系数的量化编码 JPEG 例：动机 例：动机——旋转 考虑（可逆）变换 例：动机——变换后的序列 例：动机——压缩 抛弃坐标第二维… 用定长码编码，可降低50%！ 例：动机——重构序列 例：动机——误差分析 误差取决于被置为0的那些?n的幅值 如果幅值很小，则误差也很小 即大多数信息在每个数据对的第一个元素中 例：动机——从统计分析的角度 上面我们从几何的角度分析了变换 我们也可以从统计分析角度来审视变换： 当变换对序列去相关时，能得到最大压缩 主成分方法(Principle Component Method) 即样本—样本之间的相关性为0 变换编码 变换 将原始序列{xn}分成大小为N的块 将每个块映射成变换序列 {?n} 可逆映射 每块的不同元素的通常有不同的统计特性 量化，根据 目标平均码率 统计序列的统计特性 可能对不同的子序列采取不同的技术 失真 熵编码 定长码、Huffman编码、算术编码、RLE+算术编码 … 变换 我们主要考虑线性变换： {?n} 每个元素的特性与其位置有关 如：在上述例子中元素的位置是奇数还是偶数 设计 变换序列的方差决定编码策略 N 与特定领域有关，基于实践考虑 计算代价、延迟、信源统计特性的稳定性 重构： 变换(2) 写成矩阵形式（1-D）： 2-D变换： 可分解的2-D变换： 变换(3) 矩阵形式的可分解2-D变换： 我们要讨论的变换都是正交变换(Orthonormal transforms) 正交变换 正交矩阵：如果一个矩阵满足 其中I为单位阵，则称A为正交矩阵。 每行/列点积为1，不同行/列的点积为0 正交矩阵的逆矩阵等于其转置： 正交反变换： 正交变换(2) 能量守恒性质： 总能量守恒，但通常能量在各系数上分布并不均匀 变换编码增益为 增益与系数方差的集中程度有关 若每个系数的方差相等，则没有增益 从信号分解的角度 考虑变换：反变换为 变换行 = 基向量 表示x与ai之间的相似性 相似性越高，变换系数越大 例： 第一行：低通信号，x0和x1的均值 第二行：高通信号，x0和x1的差值 A为正交矩阵 从信号分解的角度(2) 例(续)：考虑两个序列： 低通：(3, 1) 高通：(3, -1) 矩阵的角度 1-D变换：变换矩阵的行展开 类似的，2-D变换可视为变换矩阵行向量外积构成的矩阵的展开 矩阵的角度(2) 例： 外积为： 矩阵的角度(3) 例（续）： 逆变换为： Karhunen-Loéve Transform (KLT) 亦称为Hotelling Transform Hotelling于1933年用于离散数据去相关 Karhunen、Loéve 分别于1947年和1948用于连续函数分析 Kramer和Mathews、Huang和Schultheiss分别于1956年、1963年用于数据压缩（变换编码） 在统计分析中被称为主成份分析(Principal Components Analysis, PCA) KLT(2) 目标：用一个正交变换，去除输入之间的相关性 自相关矩阵： {?n}不相关 ? 为对角阵 A为正交矩阵 ? ? 基函数（A的行向量）为矩阵 的特征向量 {?n} 的方差为 的特征值 是对称的 ? 可正交对角化 KLT的性质 从N维中任取 系数，令其他系数为0，得到的重构误差（均方误差）为 其中 为 的特征值，也是?k 的方差 所以KLT最小均方误差意义下的最佳变换 KLT达到最佳的能量集中 KLT的性质(2) 任何正交变换的行列式的值： 任何正交变换的协方差的行列式的值： KLT变换后（对角）协方差矩阵的行列式 Hadamardin不等式：任何对称、半正定矩阵的行列式小于等于其对角线元素的乘积 变换系数方差的几何均值最小?编码增益GTC最大 例：KLT 对块大小为2的平稳过程，自相关矩阵为 特征值： 特征向量： 须满足正交约束，归一化： 所以，KLT的变换矩阵为： KLT(3) 既然KLT是最佳的，为什么还会有其他的变换呢？ 没有快速计算方法 KLT取决于信号的统计性质 对平稳过程，KLT比较合适 但对大多数输入，需重复计