第十七章理论力学.ppt

其中ε表示受迫振动的相位角落后于激振力的相位角 将上式代入方程（17－30）可得 再将上式右端改写为如下形式 这样前式可整理为 对任意瞬时t 上式都必须是恒等式 则有 将上述两方程联立可解出 （17－33） （17－34） 于是得方程（17－30）的通解为 （17－35） 其中A和θ为积分常数 由运动的初始条件确定 第一部分称为过渡过程（或称瞬态过程） 过渡过程以后这段过程称为稳态过程 受简谐振动力作用的受迫振动仍然是谐振动 振幅频率关系用曲线如图表示 采用量纲为1的形式 横轴表示频率比 纵轴表示振幅比 阻尼的改变用阻尼比 的改变来表示 这样表达式（17－33）和（17－34）可写为 （17－36） （17－37） （17－36） 从式（17－36）和上图可以看出 阻尼对振幅的影响程度与频率有关 （1）当 时 阻尼对振幅的影响甚微 这时可忽略系统的阻尼而当作无阻尼受迫振动处理 （2）当 振幅B具有最大值 这时的频率称为共振频率 在共振频率下的振幅为 或 在一般情况下 阻尼比 这时可以认为共振频率 即当激振动力频率等于系统固有频率时 系统发生共振 共振的振幅为 （3）当 时 阻尼对受迫振动的振幅影响也较小 这时又可以忽略阻尼 将系统当作无阻尼系统处理 由式（17－37）知 有阻尼受迫振动的相位角 总比激振力落后一个相位角j j称为相位差 根据式（ 17－37 ）可以画出 相位差j随激振力频率变化曲线如图 （17－37） * 第十七章振动 1.自由振动微分方程 § 17－1 单自由度系统的自由振动 设弹簧原长为 在重力 的作用下 刚度系数为k 弹簧的变形为 这一位置为平衡位置 称为静变形 平衡时 由此有 （17－1） 取重物的平衡位置点O为坐标原点 其运动微分方程为 取x轴的正向铅直向下 则 考虑式（ 17 －1） 则上式变为 （ 17 －2） 上式表明 物体偏离平衡位置于坐标x处 将受到与偏离距离成正比而与偏离方向相反的合力 称此力为恢复力 只在恢复力作用下维持的振动称为无阻尼自由振动 （ 17 －3） 得 （ 17 －4） 上式为无阻尼自由振动微分方程的标准形式 其解具有如下形式 其中r为待定常数 将上式代入微分方程（ 17 －4）后 消去公因子 得本征方程 本征方程的两个根为 其中 和 是两个共轭虚根 微分方程（17 －4）的解为 （ 17 －5） 其中 和 是积分常数 由运动的起始条件确定 令： 则式（ 17 －5）可改写为 （ 17 －6） 上式表示 其运动图线如图所示 无阻尼自由振动是简谐振动 2.无阻尼自由振动的特点 （1）固有频率 所谓周期振动 是指对任何瞬时t 其规律x( t )总可以写为 其中T为常数 称为周期 单位符号为s 这种振动经过时间T后又重复原来的运动 由式 其角度周期为2π 则有 由此得自由振动的周期为 （ 17 －7） 从上式得 （ 17 －8） 其中 称为振动的频率 表示每秒钟的振动次数 单位符号为1/s或Hz（赫兹） 由式 知 （ 17 －9） 因为 表示2π秒内的振动次数 单位符号为rad/s（弧度/秒） 上式表示 只与表征系统本身特性的质量m和刚度k有关 而与运动的初始条件无关 它是振动系统固有的特性 所以称 为固有角（圆）频率（一般也称固有频率） 将m=P/g和 代入式（17 －9） 得 （17 －10） 上式表明 对上述振动系统 只要知道重力作用下的静变形 就可以求得系统的固有频率 （2）振幅与初相角 在谐振动表达式（17 －6）中 A表示相对于振动中心点O的最大位移 称为振幅 称为相位（或相位角） 相位决定了质点在某瞬时t的位置 具有角度的量纲 而θ称为初相角 它决定了质点运动的起始位置 设在起始t =0时 物块的坐标 速度 为求A和θ 现将式（17 －6）两端对时间t求一阶导数 得物块的速度 （17－11） 然后将初始条件代入（17 －6）和（17 －11）两式得 由上述两式 得到振幅A和初始角θ的表达式为 （17 －12） 从上式可以看出 自由振动的振幅和初相角都与初始条件有关 3.弹簧的并联与串联 （1）弹簧并联 在平衡时有 令 称为等效弹簧刚度系数 上式成为 （17 －13） 或 因此上述并联系统的固有频率为 此系统相当于有一个等效弹簧 当两个弹簧并联时 其等效弹簧刚度系数等于两个弹簧刚度系数的和 这个结论也可以推广到多个弹簧并联的情形 （2）弹簧串联 两个弹簧总的静伸长 若设串联弹簧系统的等效弹簧刚度系数为 则有 比较上面两式