第十五讲 大数定律和中心极限定理.ppt

第十五讲 大数定律和中心极限定理 大数定律 中心极限定理 一、大数定律 大量抛掷硬币 正面出现频率 字母使用频率 生产过程中的 废品率 定义1 设Y1，Y2，…Yn，…是一随机变量序列，a是一常数，若对任意正数ε有 ,则称序列Y1，Y2，…Yn，依概率收敛Y，记为 定义2 设{Xn}为一随机变量序列, 记 则称{Xn}服从大数定律。 若存在常数列 ，使得对任意正数ε，有 设随机变量X有期望E(X)和方差D(X) ， 则对于任给 0, 或 切比雪夫不等式 几个常见的大数定律 定理1（切比雪夫大数定律） 设 X1,X2, …是相互独立的随机变量序列，它们都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即 D(Xi) ≤K，i=1,2, …， 切比雪夫 则对任意的ε0， 推论（独立同分布下的大数定律） 设X1,X2, …是独立同分布的随机变量 序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ， i=1,2,…, 则对任给 0, 贝努里 设Sn是n重贝努里试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率， 引入 i=1,2,…,n 则 是事件A发生的频率 设Sn是n重贝努里试验中事件A发生的 次数，p是事件A发生的概率，则对任给的ε 0， 定理2（贝努里大数定律） 贝努里 设随机变量序列X1,X2, …独立同分布，具有有限的数学期E(Xi)=μ, i=1,2,…， 则对任给ε 0 ， 定理3（辛钦大数定律） 辛钦 例1 设X1,X2, …是独立同分布的随机变量 序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ， i=1,2,…, ，证明 例2 设X,Y的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，相关系数为-0.5，由切比雪夫不等式估计 不超过多少？ 二、中心极限定理 定理1（独立同分布下的中心极限定理） 设X1,X2, …是独立同分布的随机 变量序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ， i=1,2,…，则 近似服从 推论1 近似服从 推论2 近似服从 例:20个0-1分布的和的分布 几个(0,1)上均匀分布的和的分布 0 1 2 3 x f g h 定理2(棣莫佛－拉普拉斯定理） 设随机变量 服从参数n, p(0p1)的二项分布，则对任意x，有 近似服从 下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近. 某保险公司的老年人寿保险有1万人参加,每人每年交200元. 若老人在该年内死亡,公司付给家属1万元. 设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率. 解 设 X 为一年中投保老人的死亡数, 由德莫佛－拉普拉斯定理知, 例3 保险公司亏本的概率 4 一船舶在某海区航行, 已知每遭受一次海浪的冲击, 纵摇角大于 3o 的概率为1/3, 若船舶遭受了90000次波浪冲击, 问其中有29500～30500次纵摇角大于 3o 的概率是多少？ 解 将船舶每遭受一次海浪的冲击看作一次试验, 并假设各次试验是独立的, 在90000次波浪冲击中纵摇角大于 3o 的次数为X, 则X是一个随机变量, 例 所求概率为 分布律为 直接计算很麻烦，利用德莫佛－拉普拉斯定理 例5. (供电问题)某车间有同型车床200台, 设每台开动的概率为0.7, 且开关是相互独立的并设每台的耗电量为15kw, 问最少需耗多少电力，才能以95%的把握满足车间生产? 练习 甲乙两个剧院在竞赛1000名观众, 设每个观众随意地选择一个剧院，且观众之间的选择相互独立，问每个剧院应设有多少个座位才能保证因缺少座位而使观众离去的概率小于1%？ * *