第十四次文概率.ppt

大量的随机现象下平均结果具有稳定性 大数定律的客观背景 大量抛掷硬币 正面出现频率 字母使用频率 生产过程中的 废品率 …… 几个常见的大数定律 贝努里大数定律 辛钦大数定律 切比雪夫大数定律 问题 : 伯努利 设nA是n重贝努里试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率， 是事件A发生的频率. 实践证明：当试验次数n增大时， fn(A) 逐渐 趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)， 作为事件A的概率. P8 如何从数学的角度描述这一极限？ 已知事件的概率，事件的频率是否确实（数学的证明）可以代替事件的概率？ P107 设Sn是n重贝努里试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率， 频率 事件A的概率 记 ？ 设Sn是n重贝努里试验中事件A发生的 次数，p是事件A发生的概率，则对任给的ε 0， 定理（贝努里大数定律） 或 P106 伯努利 贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率Sn/n与事件A的概率p有较大偏差的概率很小. 贝努里大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法（数学基础）. 任给ε0， 这个定理说明在试验条件不变的情况下, 重复进行多次试验时, 任何事件A发生的频率将趋向（依概率收敛）于概率. 频率 事件A的概率 ？ 设Sn是n重贝努里试验中事件A发生的 次数，p是事件A发生的概率，则对任给的ε 0， 定理（贝努里大数定律） P106 设随机变量序列X1,X2, …独立同分布，具有有限的数学期望E(Xi)=μ, i=1,2,…， 则对任给ε 0 ， 定理（辛钦大数定律） 辛钦 注：贝努里大数定律是辛钦大数定律的特殊情况。 P107 辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径. 辛钦定理说明我们应当相信只要反复试验, 则一个随机变量的算术平均值将趋向于常数, 通常就是数学期望. 设随机变量序列X1,X2, …独立同分布，具有有限的数学期E(Xi)=μ, i=1,2,…， 则对任给ε 0 ， 设随机变量序列X1,X2, …独立同分布，具有有限的数学期望E(Xi)=μ, i=1,2,…， 则对任给ε 0 ， 定理（辛钦大数定律） P107 定理（切比雪夫大数定律） 设 X1,X2, …是相互独立的随机变量序列，它们都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即 D(Xi) ≤K，i=1,2, …， 切比雪夫 则对任意的ε0， P105 证明切比雪夫大数定律主要的数学工具是切比雪夫不等式. 设随机变量X有期望E(X)和方差 ， 则对于任给 0, 设 X1,X2, …是相互独立的随机变量序列，它们都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即 D(Xi) ≤K，i=1,2, …， 则对任意的ε0， 证明: 记: 由切比雪夫不等式： 切比雪夫大数定律表明，独立随机变量序列{Xn}，如果方差有共同的上界，则 与其数学期望 偏差很小的 概率接近于1. 随机的了，取值接近于其数学期望的概率近似于1. 即当n充分大时， 差不多不再是 切比雪夫大数定律给出了 平均值稳定性的科学描述 贝努里大数定律 辛钦大数定律 切比雪夫大数定律 总结： 给出了平均值稳定性的科学描述 任给ε 0 ， 给出了“频率稳定性”的严格数学解释 提供了通过试验来确定期望的方法 * * 29. 两个离散变量的函数的分布 （1） P49 2.24 （2） 30. 两个离散变量的函数的分布 计算9种情形，合并整理得到： 若 r .v X具有概率密度 为常数, 则称 X 服从参数为 的指数分布. 指数分布 λ f(x) x 正态分布的定义 若r.v X的概率密度为 记作 f (x)所确定的曲线叫作正态曲线. 其中 和 都是常数， 任意， 0， 则称X服从参数为 和 的正态分布. P92 当x→ ?∞时，f(x) → 0, x = μ ? σ 故f(x)以μ为对称轴，并在x=μ处达到最大值: 决定了图形的中心位置， 决定了图形中峰的陡峭程度. 正态分布 的图形特点 设X~ , X的分布函数是 标准正态分布 的正态分布称为标准正态分布. P93 一个服从正态分布的随机变量X的线性函数Y=aX+b仍然服从正态分布。 ,则 ~N(0,1)