第四章 截面图形的几何性质.ppt

第四章　截面的几何性质 4.1 静矩和形心 4.2 惯性矩和惯性积 4.3 平行移轴公式 4.4 转轴公式 4.5 形心主惯性轴和形心主惯性矩 1.静矩 C x y dA xC x yC y O 第四章　截面的几何性质/静矩和形心 4.1 静矩和形心 2.形心 3.形心与静矩的关系 图形对某轴的静矩为零，则该轴一定过图形的形心；某轴过图形的形心，则图形对该轴的静矩为零。 目录 例4.2 求图示半径为r的半圆形对其直径轴x的静矩及其形心坐标yC。 O C r x y dA yC y dy 解：过圆心O作与x轴垂直的y轴，在距x任意高度y处取一个与x轴平行的窄条， 所以 4、组合截面的静矩和形心 （1）组合截面的静矩 （2）组合截面的形心 第四章　截面的几何性质/静矩和形心 目录 解：将此图形分别为I、II、III三部分，以图形的铅垂对称轴为y轴，过II、III的形心且与y轴垂直的轴线取为x轴，则 例4.1 求图示图形的形心。 x 150 y C O x1 y1 200 10 yC 300 I II III 10 由于对称知： xc=0 第四章　截面的几何性质/静矩和形心 目录 2.极惯性矩： 1.惯性矩： 为图形对一点的极惯性矩； x y dA x y r O 3.惯性积： 为图形对x、y一对正交轴的惯性积； 分别为图形对x、y轴的惯性矩； 4.2 惯性矩和极惯性矩 第四章　截面的几何性质/惯性矩和极惯性矩 目录 ②惯性矩、极惯性矩恒为正值，惯性积有正负，单位：m4、cm4、mm4； ③若图形有一个对称轴，则图形对包含此对称轴的一对正交轴的惯性积为零； ④惯性矩、惯性积和极惯性矩均为面积的二次矩 ⑤如将dA看成质量dm，则Ix、Iy、Ip分别为平面图形对x、y、原点的转动惯量。 第四章　截面的几何性质/惯性矩和极惯性矩 4.①惯性矩与极惯性矩的关系： 平面图形对过一点的任意一对正交轴的惯性矩之和为常数，等于图形对该点的极惯性矩。 解：平行x轴取一窄长条， 其面积为dA=bdy，则 例 4.3 求图示矩形对通过其形心且与边 平行的x、y轴的惯性矩Ix、Iy和惯性积Ixy。 yd b/2 b/2 x y y h/2 h/2 C dA 又因为x、y轴皆为对称轴，故Ixy=0。 同理可得 第四章　截面的几何性质/惯性矩和极惯性矩 惯性半径的概念 在实际工程中，为方便起见，引入了惯性半径的概念，即 第四章　截面的几何性质/惯性矩和极惯性矩 目录 一、平行移轴公式 1.公式推导 2.平行移轴公式 ②b和a是图形的形心C在Oxy坐标系中的坐标，所以它们是有正负的。 3.注意： ①xC、yC轴是形心轴，在所有的平行轴中，图形对形心轴的惯性矩最小； 4.3 平行移轴公式 二、组合图形的惯性矩： 第四章　截面的几何性质/平行移轴公式 目录 例4.4 求图示T型截面对形心轴的惯性矩。 5 30 5 30 例4.5 已知三角形对底边(x1轴)的惯性矩为bh3/12，求其对过顶点的与底边平行的x2轴的惯性矩。 b x1 h x2 xC h/3 解：由于x1、x2轴均非形心轴，所以不能直接使用平行移轴公式，需先求出三角形对形心轴xC的惯性矩，再求对x2轴的惯性矩，即进行两次平行移轴： 第四章　截面的几何性质/平行移轴公式 目录 30 30 5 5 C C2 C1 y2 2 1 y1 zC1 zC2 求T形截面对形心轴的惯性矩 先求形心的位置： 取参考坐标系如图，则： 再求截面对形心轴的惯性矩： yC z yC zC 目录 惯性矩和惯性积的转轴公式 1.公式推导： 2.转轴公式： 3.注意：a是x轴与x1轴的夹角，由x轴逆时针转到x1轴时的a为正。 4.4 转轴公式 第四章　截面的几何性质/转轴公式 目录 y1=|AC| dA y1 x1 y1 x1 a y x a D E B A C O x y 已知：Ix、Iy、Ixy、a，求 、 、 。 =|AD|-|EB| =ycosa-xsina 利用三角变换，得到 同理，利用： x1=|OC|=|OE|+|BD|=xcosa+ysina 得到 目录 ③形心主惯性矩：图形对形心主轴的惯性矩； 2.主轴方位： ①利用主轴的定义—惯性积等于零进行求解； ②主轴与x轴的夹角: ③由上式可求出相差90o的a0，a0+90o，分别对应于一对相垂直的主轴x0、y0； 4.5 主惯性轴、主惯性矩 1.主轴的相关概念： ①主轴(主惯性轴)：惯性积等