第四章-幂级数.ppt

定理：设函数 和 在区域D内解析，且在D 内有一个收敛于a的点列 ，在其上 和 等值，则 和 在D内相等 推论：设函数 和 在区域D内解析，且在D 内某一子域（或一小弧）上相等，则两个函数在D内相等 推论：一切在实轴上成立的恒等式，在z平面上也成立，只要该恒等式的等号两边在z平面上是解析的 定理（最大模原理）：设函数 在区域D内解析，则 在D 内任何点都不能达到最大值，除非在D内 恒等于常数 证明：设函数 在 取得最大值M，以 为心做圆 包含在D内。 ，进而 在K内成立，。在K内是常数，由唯一性定理，在D内是常数 作业 P174 1~10,12~14 函数项级数的基本性质 一、数项级数 1、定义：考虑各项均为复数的级数 它的每一项都可分为实部和虚部，设为 ，则级数的部分和为： 第四章 解析函数的幂级数表示 2、级数的收敛性 如果 为有限数s, 则称级数收敛，并称s为它的和，记为 不收敛的级数称为发散级数，显然 这样复数项级数的收敛问题就归结于两个实数项 级数的收敛问题，即级数 收敛于 的充要条件是两个实级数 及 分别收敛于 及 。 3、绝对收敛和条件收敛 如果由级数各项的模所构成的级数 收敛，则称 绝对收敛。 收敛而非绝对收敛的级数，称为条件收敛级数，显然，绝对收敛必收敛。 二、函数项级数收敛和一致收敛 讨论各项均在区域D有定义的函数项级数 1、定义：如果对于D上每一点Z，上述级数均收敛，就称级数在D上收敛，其和在D上构成一函数 ，称为级数的和函数，记为 （*） （*） 定义：对于级数（*），如果在点集D上有一个函数 ， 使得 则称级数（*）在D上是一致收敛于 哥西一致收敛准则：级数（*）在点集D上一致收敛于某函数的 充分必要条件： 若级数在D的任一有界闭集上一致收敛，则称此级数内闭一致收敛 (1)若 在D上连续，则 也在D上连续，即由连续函数组成的(内闭)一致收敛的函数项级数的和也连续。 (2)如果 在C上连续，则沿C可逐项积分，且 性质：如果级数 在D上（内闭）一致收敛于 3、一致且绝对收敛判别法 如果对于某区域D上所有各点z，复数项级数各项的模 ，而正的常数项级数 收敛，则复变函数项级数在D上绝对且一致收敛。级数 称为 的强（优）级数，即其强级数收敛的复变函数项级数一致且绝对收敛。 (3)如果 在D上解析， 则 在D上解析，并且 即 （内闭）一致收敛于 幂级数与解析函数 一、幂级数的收敛性 1、幂级数　各项均为幂函数的复变项级数 其中 ，都是复常数，这样的级数叫做以 z0 为中心的幂级数。 2、幂级数的收敛性，收敛半径　先看由上级数各项的模所组成的正项级数 (*) 应用正项级数的比值判别法可知，如果 则级数收敛，即原级数绝对收敛，可引入记号 即，如果 则原级数绝对收敛，如果 ，则 即级数后面的项的模越来越大，不满足级数 收敛的心要条件