第四章_大数定律与中心极限定理 2014 05 15.ppt

第四章 大数定律与中心极限定理 §4.1 随机变量序列的两种收敛性 §4.2 特征函数 §4.3 大数定律 §4.4 中心极限定理 §4.1 随机变量序列的两种收敛性 4.1.1 依概率收敛 依概率收敛的性质 4.1.2 按分布收敛、弱收敛 依概率收敛与按分布收敛的关系 §4.2 特征函数 特征函数是处理概率论问题的有力工具， 其作用在于： 4.2.1 特征函数的定义 定义4.1.1 设 X 是一随机变量，称 ?(t) = E( eitX ) 为 X 的特征函数. (必定存在) 注 意 点(1) 注 意 点(2) 特征函数的计算中用到复变函数，为此注意： 4.2.2 特征函数的性质 性质4.1.1 特征函数的定理 定理4.1.1 §4.3 大数定律 切比雪夫不等式 4.3.1 伯努利大数定律 4.3.2 常用的几个大数定律 切比雪夫大数定律 马尔可夫大数定律 辛钦大数定律 注 意 点 (1) 伯努利大数定律是切比雪夫大数定律的特例. 一、问题的引入 4.4.2 独立同分布下的中心极限定理 注 意 点 (2) 中心极限定理的应用有三大类： 一、给定 n 和 y，求概率 二、给定 n 和概率，求 y 三、给定 y 和概率，求 n 4.4.4 独立不同分布下的中心极限定理 李雅普诺夫中心极限定理 例4.4.8 用调查对象中的收看比例 k/n 作为某电视节 目的收视率 p 的估计。 要有 90％ 的把握，使k/n与p 的差异不大于0.05，问至少要调查多少对象？ 解：用 根据题意 Yn表示n 个调查对象中收看此节目的人数，则 从中解得 Yn 服从 b(n, p) 分布，k 为Yn的实际取值。 又由 可解得 n = 271 对于一个学生而言, 来参加家长会的家长人数是一个随机变量. 设一个学生无家长、1名家长、 2名家长来参加会议的概率分别为0.05、0.8、0.15. 若学校共有400名学生, 设各学生参加会议的家长数相互独立, 且服从同一分布. (1) 求参加会议的家长数X超过450的概率; (2) 求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率. 解 课堂练习 由德莫佛－拉普拉斯定理知, 定理4.4.3 林德贝格中心极限定理 设{Xn }为独立随机变量序列，若任对 ? 0，有 林德贝格条件 则 定理4.4.4 李雅普诺夫中心极限定理 设{Xn }为独立随机变量序列，若存在 ? 0，满足： 李雅普诺夫条件 则 林德贝格条件较难验证. 第四章 大数定律与中心极限定理 华东师范大学 * 第*页 * 第四章 大数定律与中心极限定理 第*页 在概率的统计定义中提到，当实验次数很大时，用频率近似概率，这种近似是不是就是等于？ 即n趋向无穷时，n(A)/n是否等于p？ 两种收敛性： i) 依概率收敛：用于大数定律； ii) 按分布收敛：用于中心极限定理. 定义4.1.1 (依概率收敛) 大数定律讨论的就是依概率收敛. 若对任意的? 0，有 则称随机变量序列{Yn}依概率收敛于Y, 记为 定理4.1.1 若 则{Xn}与{Yn}的加、减、乘、除 依概率收敛到 a 与 b 的和、差、积、商. 对分布函数列 {Fn(x)}而言，点点收敛要求太高. 定义4.1.2 若在 F(x) 的连续点上都有 则称{Fn(x)} 弱收敛于 F(x) ，记为 相应记 按分布收敛 注：上述定义中，对分布函数列 {Fn(x)}称为弱收 敛，随机变量序列称为按分布收敛，本质是一样 的。 定理4.1.2 定理4.1.3 可将卷积运算化成乘法运算； 可将求各阶矩的积分运算化成微分运算； 可将求随机变量序列的极限分布化成一般的函数极限问题； ………. 注意： 是虚数单位. (1) 当X为离散随机变量时， (2) 当X为连续随机变量时， 这是 p(x) 的傅里叶变换 (1) 欧拉公式： (2) 复数的共轭： (3) 复数的模： |?(t)| ? ?(0)=1 性质4.1.2 性质4.1.3 性质4.1.4 若 X 与 Y 独立，则 性质4.1.5 一致连续性. 定理4.1.2 定理4.1.3 定理4.1.4 唯一性. 定理4.1.5 非负定性. 逆转公式. 连续场合， 讨论 “ 依概率收敛” ； 给出几种大数定律： 伯努利大数定律、切比雪夫大数定律、 马尔可夫大