第四讲 多项式回归与正交多项式.ppt

第四讲 多项式回归与正交多项式POLYNOMIAL REGRESSION AND ORTHOGONAL POLYNOMIAL 变量间的关系并不都是如前三讲所设定的线性关系，而有时是非线性的关系。对于非线性变量间的回归分析，人们通常经过某种线性处理，将非线性性回归转化为线性回归，即在选用适当函数类型进行拟合时，进行适当的变量变换，把曲线方程转化为直线方程。但是也不是所有的曲线都能找到适当的函数类型进行拟合。这时可采用多项式逼近。所以，在许多比较复杂的实际问题中，可以不问自变量和依变量的关系如何，采用多项式回归进行分析。然而，多项式回归分析也存在不足之处。首先是，当自变量的个数较多时 计算将十分繁杂；其次，如同多元线性回归一样，偏回归系数之间存在相关性，当剔除一个自变量后，必须重新计算偏回归系数。为此，人们研究了各种简化计算和消去偏回归系数间相关性的办法。而最为常用的是正交多项式的分析方法。在介绍该方法之前先要了解多项式回归的分析方法。 第一节 多项式回归 一、多项式回归的基本方法 设有一组观察值（xt，yt） t=1，2，…，n，存在非线性关系，则多项式回归方程为： 第二节 正交多项式 上述分析可见，要配合一个适当的多项式回归方程，其计算工作量是十分繁琐的。但，如果自变量取等间隔数值时，可通过恰当的变量变换，如采用正交多项式来配合其回归方程，将使得分析变的十分简便和实用。 为引出正交多项式的分析方法，可先看下例： 设有一组x与y的观察值： x 1 2 3 4 5 y 2 4 3 6 7 第三节 正交多项式分析实例 例2、用镇痛药对小动物镇痛效果的研究中，得到关于用药后时间（x）和平均反映时间（y）的资料如下，试配合一个适当的多项式回归方程。 x（分） 0 20 40 60 80 100 120 y（分） 24.9 37.0 42.0 37.5 34.0 28.1 25.9 因资料中x取等间隔数据n=7，公差h=20，故可用正交系数作多项式回归分析。 * * （4—1） 为使离回归平方和SSQ=∑(y－ )2最小，即根据最小二乘法原理可得出下列正规方程组： （4—2） 解上述方程组可得：b0，b1，b2… bp 。 若令x1=x，x2=x2，…xp=xp，或φ1(x)=x，φ2(x)=x2，…φp(x)=xp，则（4—1）可改写成 ： （4—3） 或 （4—4） 这样就把xi 或Φi(x)看成是新的变量，（4—3）或（4—4）式便是一个p元的线性回归方程，各偏回归系数di仍可