线性系统-8.ppt

第5章 线性控制系统设计 建立了状态空间模型 提出了基于状态空间模型的运动分析 探讨了系统的定性分析：稳定性、能控性、能观性 认识世界 ? 如何来改变世界？！ 设计控制系统！ 开环控制、闭环控制 经典控制中，用系统输出作为反馈控制器的输入； 根据系统信息：状态反馈、输出反馈 5.1 线性反馈控制系统 系统模型 反馈控制系统结构。 v为外部输入； 控制器：动态补偿器、静态反馈控制器。 状态反馈控制器： 称为是状态反馈增益矩阵。 闭环系统： 静态线性输出反馈控制： ? 若v表示系统的参考输入，用 代替之，可得 用输出误差来校正系统。 当 时，状态反馈变为输出反馈。一类特殊输出反馈。 5.1.2 反馈控制的性质 在静态反馈下，闭环系统矩阵变为 和 结论：反馈可以改变系统的动态特性。 定理5.1.1 状态反馈不改变系统的能控性。 证明 对任意能控状态 ，在 内存在控制律 ，使 得 。要证明 也是任意闭环系统的能控状态。 取控制律 ? 例 考虑系统 在状态反馈 下的闭环系统能控能观性。 能控性矩阵： 系统能控！ 能观性矩阵： 系统不能观！ 结论：状态反馈保持系统的能控性； 不能保持系统的能观性。 状态反馈使得闭环系统产生了零极点的对消。 开环传递函数： 闭环传递函数： 零极相消导致了系统能控性/能观性的破坏。 本例中，保持了能控性，所以就不能观。 定理5.1.2 输出反馈不改变系统的能控能观性。 留给同学！ 定理5.1.3 状态反馈不能改变单输入单输出能控系统的 零点。 定理5.1.3 状态反馈不能改变单输入单输出能控系统的零点。 系统的传递函数： 系统能控：等价于能控标准型 关系式： 由 可得 等价的状态空间模型具有相同的传递函数 采用状态反馈 ，闭环系统的传递函数 其中 。 只改变分母多项式的系数，不改变分子多项式的系数。 反馈形式的讨论： 静态反馈不增加系统动态特性； 状态和输出反馈均可保持闭环系统的能控性； 输出反馈保持闭环系统的能观性，但状态反馈不能； 利用系统的信息多，所能达到的性能好。 5.2 稳定化状态反馈控制器设计 基于李雅普诺夫稳定性理论设计稳定化控制器 系统模型： 控制律： 闭环系统： 闭环系统渐近稳定的充分必要条件是： 关键的问题：如何确定以上的矩阵K 和 P。 介绍两种方法。 5.2.1 黎卡提方程处理方法 如何使得 是闭环系统的李雅普诺夫方程？ 矩阵P是对称的， 若选取 ? 控制器设计问题转化为以下矩阵方程的求解问题： （黎卡提矩阵方程） 优点：若对给定的常数 ，以上矩阵方程有解，则对 任意的 ， 都是系统的稳定化控制律。 结论：正无穷大的稳定增益裕度！ 例 设计系统的一个稳定化状态反馈控制律 取k=1，则 展开矩阵方程，得到 求取一个正定的解矩阵 对任意的 ，稳定化控制律： 线性矩阵不等式处理方法。 5.2.2 线性矩阵不等式处理方法 闭环线性系统 稳定的充分必要条件是存在对称矩阵P，使得 转化为以矩阵P和K为变量的矩阵不等式的求解问题。 困难：关于P和K是非线性的。 左乘和右乘矩阵 可得， 记 ， ? 是关于X和Y的一个线性矩阵不等式。 矩阵P的正定性等价于X的正定性。 定理 若以下线性矩阵不等式系统 有可行解X和Y，则 是系统的一个稳定化控制 律， 是闭环系统的李雅普诺夫矩阵。 例5.2.2 课程网站上有LMI工具箱的使用介绍。 5.3 最优控制器设计 5.3.1 性能分析 系统模型： 矩阵A是渐近稳定的，如何考虑稳态和动态性能？ 表示了阴影部分的面积 可以体现调节时间、振荡 等动态性能指标。