线性代数第四章答案.docx

第4章习题答案思考题4-11.（1）不对。我们现在遇到的向量都是自由向量，可以平行移动。与共线的意思是与平行，与一开始并不一定在一条直线上。（2）不对。我们现在遇到的向量都是自由向量，可以平行移动。共面的意思是它们平行于同一个平面,一开始并不一定在一个平面上;（3）不对。参考下图，水平方向的向量为. 2．一个向量的方向可用它的单位向量、方向角、方向余弦表示。习题4-11.（1）⊥；（2）与同向；（3）与反向且；（4）与为同向的非零向量。2.证：因为M是线段AB的中点,所以，即.因而.3．注：因为和都是单位向量，所以以它们为边的平行四边形是菱形，其对角线也是角平分线。4．图略。点A关于面的对称点的坐标为, 点B关于轴的对称点的坐标为.5．在第II卦限，在第V卦限，在第VIII卦限，在第III卦限。6．（1）点() 关于面，面和面的对称点的坐标分别为，和；（2）点()关于轴，轴和轴的对称点的坐标分别为，和；（3）点()关于坐标原点O的对称点的坐标为7．（1）从点()向轴,轴和轴作垂线的垂足分别为，和；（2）从点()向面,面和面作垂线的垂足的坐标分别为，和.8．9．因为，所以。求得。10．11．思考题4-21．（1）不成立.（2）不成立.（3）成立.（4）不成立.例如，（5）不成立.；（6）成立.因为,,的混合积为.2．△ABC的面积等于3．四面体的体积等于4．习题4-21.（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：.2.解：因为,,互相垂直,所以3.（1）解：（2）解：的方向余弦为在上的投影为.4.（1）（2）（3）5.解：平行四边形的面积为：.6.解：7.解：是同时垂直于和的向量。8.解：设由，得所以9.解：所以当时，与垂直。10．解：因为与轴垂直，所以，即.11解：12．解：13．解：（1）.因为与不成倍数，所以与不平行，这三点不共线.（2）.因为是的倍，所以与平行，这三点共线.14.证：因为，所以这四点共面.15.证：设和的夹角为.16．证:设与的夹角为，与的夹角为..17．证：由得由得所以18．证：由于和都与垂直，所以由得整理，得.所以,,共面.19．证：因为所以()).故与共线.思考题4-31. 平面的截距式方程的形式是唯一的，平面的点法式方程、一般式方程、三点式方程的形式不是唯一的。2. 有。找出交线上的两点通过三点式方程来求也很简便。3. 都是线性方程，变量的个数与其所在空间的维数有关。空间解析几何中的平面方程是三元一次方程，平面解析几何中的直线方程是二元一次方程。4. 过轴的平面的方程的特点是的系数和常数项都为0；垂直于轴的平面就是平行于面的平面，其方程的特点是和的系数都为0.习题4-31.（1）.（2）.（2）.2.解：所求方程为，即3．解：利用三点式方程来求。所求方程为，即4．解：所求平面方程为，即.5.解：该平面的法向量为，所求平面方程为即6．略7．解法1设所求平面方程为将和代入上式，得.求得.所求方程为解法2. 所求平面平行于两已知点连线所得向量及轴，利用叉乘积可求得该平面的法向量。该平面的方程为即8．解：设所求平面方程为，代入所过点的坐标，得所求平面方程为9．解：两已知平面的法向量分别为和.利用叉乘积可求得该平面的法向量为所求平面方程为即10．证：不在同一条直线上的三点、和所确定的平面方程为将中行列式的1,3,4行分别减去第二行，再按第一列展开，得到的就是上式。习题4-41．（1）解：该直线的参数式方程和对称式方程分别为.（2）解：该直线的参数式方程和对称式方程分别为.（3）解：该直线的方向向量为，它的坐标向量为其参数式方程和对称式方程分别为.（4）解：该直线的方向向量为其参数式方程和对称式方程分别为.（5）解：两条已知直线的方向向量分别为和，先通过叉乘积来求该直线的方向向量。该直线的方向向量为该直线的参数式方程和对称式方程分别为.（6）解：两个已知平面的法向量分别为和.先通过叉乘积来求该直线的方向向量。该直线的方向向量为该直线的参数式方程和对称式方程分别为.（7）解法1：设过点向直线所作垂线的垂足为，则与已知直线的方向向量垂直，它们的数量积等于.解得点的坐标为，该直线的参数式方程和对称式方程分别为.解法2：过点且与直线垂直的平面的方程为即将代入上式，得，过点向直线所作垂线的垂足的坐标为.该直线的参数式方程和对称式方程分别为.（8）解：已知平面的法向量为,已知直线的方向向量为.先通过叉乘积来求该直线的方向向量。该直线的方向向量为该直线的参数式方程和对称式方程分别为.2．（1）；（2）.3．（1）提示：在所给直线上找两个点，利用三点式来求。该平面的方程为.（2）提示：先利用叉乘积求出所给直线的方向向量，它也是所求平面的法向量。该平面的方程为.（3）提示：该平面的法向量为直线和的方向向量的叉乘积。该平面