线性系统可靠控制1.ppt

在水平方向，应用牛顿第二定律： 系统特性分析 例 某电桥系统的模型如图所示 。 由电路理论知识可知, 若图所示的电桥系统是平衡的(例Z1=Z2=Z3=Z4),电容C2的电压x2(t)是不能通过输入电压u(t)改变的,即状态变量x2(t)是不能控的,则系统是不完全能控的。 稳定性分析 由单倒置摆系统的状态方程，可求的其特征方程为： 状态反馈控制器设计 状态反馈控制器设计 定理：对于系统（1）存在状态反馈控制器（2）使得闭环系统（3）渐进稳定的充分必要条件为对于正定矩阵X0和矩阵W，下列线性矩阵不等式（LMI）， 存在可行解。如果可行解为（X,W），则相应的状态反馈控制器增益矩阵为 单级倒立摆系统 在垂直于摆杆方向，应用牛顿第二定律： 而有： 线性化：当 和 较小时 ，有 化简后，得 求解得： 选择状态变量 ， ， ， 为系统输入， 为系统输出 选取四个研究对象作为状态变量，分别为：位移y、小车的速度 、摆的角速度θ及其角速度 状态图 为方便研究，假定系统的参数 M=4kg,m=0.2kg,l=1m, 则系统状态方程中参数矩阵为： 此时倒置摆的状态空间模型表达式为： 作为被控制的倒置摆，当它向左或向右倾倒时，能否通过控制作用使它回复到原直立位置，这取决于其能控性。 该电桥系统中,电源电压u(t)为输入变量,并选择两电容器两端的电压为状态变量x1(t)和x2(t)。 试分析电源电压u(t)对两个状态变量的控制能力。 若图所示的电桥系统是不平衡的, 两电容的电压x1(t)和x2(t)可以通过输入电压u(t)控制,则系统是能控的。 判定方法 特点 判据 矩阵指数函数判据 代数判据 模态判据1 模态判据2 矩阵函数e-AtB的各行函数线性独立 能控性矩阵Qc=[B AB … An-1B]满秩 约旦标准形中同一特征值对应的B矩阵分块的最后一行线性无关 对于所有特征值? , rank[?I-A B]=n 需要求矩阵指数函数并判定函数相关,计算复杂 计算简便可行。 缺点为不知道状态空间中哪些变量(特征值/极点)能控 易于分析状态空间中哪些变量(特征值/极点)能控。 缺点为需变换成约旦标准形 易于分析哪些特征值(极点)能控。 缺点为需求系统的特征值 通过秩判据判断能控性，将有关数据带入该判据，可得 系统是可控的，可设计控制器实现系统的稳定。也就是说设计控制器的目的就是使倒立摆系统动态稳定，即保持摆杆在垂直的位置上。 Lyapunov 第二法 解得特征值为0,0，3.2078，-3.2078。四个特征值中存在一个正根，两个零根，还有一个负根，这说明单倒置摆系统，即被控系统不稳定的。 Lyapunov 第一法 A的所有特征值均具有负实部 定理：线性时不变系统 渐近稳定的的充分必要条件是存在一个对称正定矩阵P，使得矩阵不等式成立 ATP+PA0 Lyapunov 第二法 在控制系统设计中，若需通过状态反馈使闭环系统渐进稳定，可以利用极点配置状态反馈的方法，还可以采用李雅普诺夫第二法来确定系统的控制方案。 线性连续定常系统 （1） 其中 为系统的状态变量， 为系统的输入变量。系数矩阵 和 为不依赖状态和输入的常矩阵。 状态反馈控制规律形式为u（t）=Kx（t） （2）其中K为控制器增益矩阵，是待设计矩阵。 由系统（1）和控制律（2）构成的闭环系统为 根据前面的定理，可以得到如下设计状态反馈控制器增益矩阵的算法。 单极倒立摆没有添加任何控制器结果