线性代数 相似矩阵及二次型 第二课时.ppt

向量的内积 向量的长度 向量的夹角 标准正交基 正交矩阵 2、施密特正交化方法，正交矩阵的性质; 1、 五、本节课小结 3、 特征值与特征向量的概念； 4、 求特征值与特征向量的计算方法； 5、 特征值与特征向量的性质. 六、练习题 2. 试用施密特正交化法把下列向量组正交单位化： (1) ?1 =(1,1,1)T，?2 =(1,2,3)T， ?3=(1,4,9)T； (2) ?1 =(1,2,2,-1)T，?2 =(1,1,-5,3)T，?3 =(3,2,8,-7)T. 3. 设A是一个n阶正交矩阵，证明： (1) A的行列式为?1； (2) A为可逆矩阵，且A-1=AT也是正交矩阵； (3) 若B也是一个正交矩阵，则AB仍是正交矩阵. 4. 设A为对称矩阵,证明A为正交矩阵的充分必要条件是A2=E . 5. 设?为n维向量，且?T?=1，证明A=E-2??T为对称正交矩阵. 1. 设? =(1,0,3,0)T，? =(0,3,-2,1)T，? =(1,1,0,0)T，求 ?=?+k1?+k2?向量，使?与?，?正交. * * * * 相似矩阵及二次型 线性代数 相似矩阵及二次型 第2课时 内积： 长度： 标准正交基：两两正交的单位向量基。 施密特(Schmidt)正交化方法: 复习： 正交矩阵A：ATA=E ?r = ?r- ?1 - ?2 - …- ?r-1. [?， ]= ? ?R n， 夹角： 这里? ≠ ?，? ≠ ?。 §2 方阵的特征值与特征向量 特征值问题是对方阵而言的,特征向量一定是非零向量. 这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组 A的特征值就是特征方程的解,A的特征向量就 是齐次线性方程组 的非零解向量. 称为A的特征方程. 从上节例1,例2可以看到,同样是二重特征值,属于该特征值的线性无关的特征向量的个数却是不一样的,但不管有几个都没有超过它的重数. 三、特征值与特征向量的性质 【性质1】n 阶方阵A 的特征值满足： （1）矩阵A 的n个特征值之和等于A 的n个对角线元素之和，即: （2）矩阵A的n个特征值的乘积等于A的行列式的值, 即: a、由多项式的根与系数之间的关系,不难证明此性质. b、 零是A的一个特征值 |A|=0 【性质2】矩阵 和 的特征值相同. 【例3】 是A 的特征值，证明 是 的特征值. 设 n 阶方阵A可逆, 【证】 因A可逆, 所以 | A | 0 故 0， 故有 维非零列向量 ，使 于是 用 同时左乘上式的两边得 由 知， 是 的特征值. 证毕 求一下A*的特征值？ 因 是A 的特征值， 一是根据定义，满足 的 即是A的特征值. 【例4】 设 是n 阶方阵A的特征值, 证明 的特征值. 【分析】 求矩阵的特征值，一般有两种途径 二是根据特征方程，满足 的 是A的特征值. 对抽象题目,用定义较多,对具体的数值矩阵(如前面例子)一般利用特征方程求特征值. (法一)用定义求 ,由题设可知 两边左乘A,并将上式代入,得 故知 的特征值为 故结论成立 (法二)用特征方程求 由题设可知: 此式两边同乘: 1、 若 是方阵A的特征值， 则 的特征值. 2、 设 是关于 的多项式， A是n 阶方阵 , 规定： 若 是方阵A的特征值, 则 是 的特征值, 其中 自己证明 设A是三阶方阵，且 【例5】 【解】 三阶方阵A的特征值 为1，-2，-3/2， 【定理2】 利用数学归纳法加以证明. 利用特征值，特征向量理论及线性无关的定义也可证明本定理 用反证法试一试 方阵A的不同特征值对应的特征向量必线性无关。 简记为： 【定理2】 设 是n 阶方阵A的m个特征值, 依次是与之对应的特征向量. 如果 互不相等, 则 线性无关. 证： 四、问题与思考 1、问 的解向量是否都是A对应于 的特征向量?如