线性系统-5.ppt

第4章 系统能控性和能观性 4.1 系统能控性 已知系统状态空间模型 , 对系统的初始状态 ，如果存在一个有限时刻T和时间段[0，T]上定义的控制输入u(t)，使得在控制输入u(t)作用下，系统在T时刻的状态 ，则称状态 是能控的。 若系统的所有状态都是能控的， 则称系统状态完全能控，简称 系统能控，也称矩阵对 能控。 意义：能控的状态可以在有限时间内转移到零状态 能控性判据 根据定义，能控性要求寻找到使得闭环系统状态从初始状态转移到零状态的一个控制律，定义没给出方法。 由运动分析： 由 可得 ? 矩阵指数函数 可以表示成有限项的和 ? 记 则 转化成线性方程组的求解问题： 定理 系统完全能控的充分必要条件是 能控性检验矩阵。 特点：只依赖状态矩阵A和输入矩阵B，和时间长短无关 是否满秩的方法：SISO：计算 的行列式 MIMO：计算 的行列式 例 考虑倒立摆系统 线性化状态空间模型的 系数矩阵是 能控性检验矩阵 det 故系统是能控的。 解释！系统的状态 例 考虑能控标准型 ? 能控性检验矩阵总是非奇异的。 故系统是能控的。 MATLAB命令：ctrb(A,B) SISO：det(ctrb(A,B)) MIMO：det(ctrb(A,B)*ctrb(A,B)’) 定理4.1.1 系统能控的充分必要条件是对任意的t，矩阵 是非奇异的。矩阵 称为是系统的能控格拉姆矩阵。 证明：通过变量变换 ，可得 充分性：设矩阵 是非奇异的，要证明系统能控，即找到使得任意给定的非零初始状态转移到零状态的控制律。 系统在t1时刻的状态 对给定的初始状态 ，选取控制律 则 因此，状态x0是能控的。 必要性：若系统能控，则对任意时间t， 非奇异。 反设存在 ，使得 是奇异的，则存在非零向量 xa，使得 。 由于 ， 故 。另一方面，由于系统是能控的，故对 状态 ，存在一个适当的控制律u(t)，使得 即 由 推出 ? 矛盾！ 能控性格拉姆矩阵判据，其意义： 1。理论上的作用； 2。给出将初始状态转移到零状态的具体控制律。 推论4.1.1 将任意初始状态转移到任意目标状态的控制律 定理的说明 1。若系统能控，则对所有时间T， 都是非奇异的 2。若 非奇异，则可以构造出将非零初始状态转移到零状态的控制律 3。若系统能控，则可在任意短时间内将非零状态转移到零状态 控制律是一个开环控制信号。 格拉姆矩阵的性质 若矩阵A的所有特征值具有负实部，则 存在，且满足 （李雅普诺夫矩阵方程） 定义 ，则 两边积分，得到 ? 由矩阵A的渐近稳定性，得 意义： 通过求解代数方程 求取 给出了代数方程的解析解； 通过微分方程给出代数方程解的条件和求解方法。 定理4.1.2 系统能控的充分必要条件是矩阵 是满行秩。（能控性检验矩阵！） 必要性：假设系统能控，则 反设 ，则存在非零向量v，使得 ? ， 利用矩阵指数函数的表示式 推