经典控制理论——第七章2.ppt

7-3 Z变换理论 Z变换定义 Z变换方法 Z 变换性质 1）线性定理 Z 反变换 7-4 离散系统的数学模型 线性常系数差分方程 差分方程求解 Z变换法差分方程求解 脉冲传递函数（ Z 传递函数） 关于函数F(z)zk-1在极点处的留数计算方法如下： 若zi为单极点，则 若F(z)zk-1有ｎ阶重极点zi ，则 例 7-9：设z变换函数 ，试用留数法求其z反变换。 解：因为函数 有z1=－1 ，z2=－2两个极点，极点处的留数 所以有 相应的函数为： 线性离散系统的数学模型有差分方程、脉冲传递函数和离散状态空间表达式三种。 离散系统的数学模型 将输入序列x(n)，n=0，±1，±2，…变换为输出序列y(n)的一种变换关系，称为离散系统。 记为y(n)=F[x(n)]其中，x(n) 和y(n)可以理解为t=nT时，系统的输入序列x(nT)和输出序列y(nT），T为采样周期。 线性离散系统 如果离散系统满足叠加原理，则称为线性离散系统，有如下关系式 若 且有 其中a和b为任意常数，则 线性定常离散系统 输入与输出关系不随时间而改变的线性离散系统称为线性定常离散系统。 对于一般的线性定常离散系统，k时刻的输出y(k)不但与k时刻的输入x(k)有关，而且与k时刻以前的输入x(k－1)，x(k－2),…有关，同时还与k时刻以前的输出y(k－1),y(k－2),…有关。这种关系可以用下列 阶后向差分方程描述： 上式可表示为 式中a和b为常数mn，上式称为n阶线性常系数差分方程，它在数学上代表一个线性定常离散系统。 常用方法有迭代法和z变换法。迭代法非常简单。举例说明如下： 例7-10 已知差分方程y(k)=x(k)+5y(k－1)－6y(k－2)， 输入序列x(k)=1，初始条件为y(0)=0,y(1)=1，试用迭代法求出输出序列y(k)，k =0，1，2，···，10。 解：根据初始条件及递推关系，得 y(0)=0 y(1)=1 y(2)=x(2)+5y(1)-6y(0)=6 y(3)=x(3)+5y(2)-6y(1)=25 y(4)=x(4)+5y(3)-6y(2)=90 …… y(10)=x(10)+5y(9)-6y(8)=86526 Z变换法的实质是利用z变换的实数位移定理，将差分方程化为以z为变量的代数方程，然后进行z反变换，求出各采样时刻的响应。Z变换法的具体步骤是： ①对差分方程进行z变换； ②解出方程中输出量的z变换Y(z)； ③求Y(z)的z反变换，得差分方程的解y(k)。 例7-11 用Z变换法解二阶差分方程 解：对上式取Z变换 代入初始条件，得， 在线性连续系统中，我们把初始条件为零条件下系统(或环节)输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变拉之比，定义为传递函数，并用它来描述系统(或环节)的特性。 与此相类似，在线性离散系统中，我们把初始条件为零条件下系统(或环节)的输出离散信号的Z变换与输入离散信号的Z变换之比，定义为脉冲传递函数，又称为Z传递函数。脉冲传递函数是离散系统的一个重要概念，是分析离散系统的有力工具。 图7-15 采样系统脉冲传递函数 1）脉冲传递函数的定义 在零初始条件下，线性定常离散系统的离散输出信号z变换与离散输入信号z变换之比，称为该系统的脉冲传递函数（或z传递函数）。 零初始条件是指 时，输入脉冲序列各采样值 以及输出脉冲序列各采样值 均为零。 多数实际采样系统的输出信号是连续信号，如图上图所示，在这种情况下，可以在输出端虚设一个采样开关，并设它与输入采样开关以相同的采样周期T 同步工作。这样就可以沿用脉冲传递函数的概念。 2)脉冲传递函数的求法 连续系统或元件的脉冲传递函数G(z)，可以通过其传递函数G(s)来求取。 方法是：先求G(s)的拉氏反变换，得到脉冲过渡函数g(t),再将g(t)按采样周期离散化，得到加权序列g(nT)，最后将g(nT)进行z变换，得出G(z)。这一过程比较复杂，通常可根据z变换表，直接从