经典控制理论——第四章1.ppt

第四章 线性系统的根轨迹法 主要内容 重点 根轨迹的基本概念、绘制系统根轨迹的基本规则,参数根轨迹和零度根轨迹的概念和绘制方法，以及如何利用根轨迹分析计算控制系统的性能（稳定性、暂态特性和稳态性能指标等）。 掌握系统根轨迹所揭示出的系统零、极点对系统性能的影响，熟练掌握系统根轨迹图的作图步骤，会根据系统的根轨迹图分析系统的性质。 系统的特征方程为 ： 可解出特征方程式的特征根， 这些根与阻尼比? 以及 有关，这些根也是闭环的极点。 对于高阶系统，不能用特征方程求根的解析方法得到根轨迹。 根轨迹法 图解法求根轨迹。 从开环传递函数着手，通过图解法来求闭环系统根轨迹。 根轨迹方程 根轨迹的模值条件与相角条件 绘制根轨迹的基本法则 闭环极点的确定 对于特定K*值下的闭环极点，可用模值条件确定。 根轨迹示例1 根轨迹示例2 自动控制系统的根轨迹 二阶系统 设二阶系统的结构图如上所示。它的开环传递函数为 （1）有二个开环极点（起点） ， 。 （2）有二个开环无限零点（终点），故二条根轨迹都将延伸到无限远。 （3）由上节法则可知，在0和 间必有根轨迹。 （4）计算根轨迹的分离点 由此得分离点 5）根轨迹的渐近线倾角计算，得 渐近线交点计算得 它和根轨迹的分离点重合。根据以上分析计算结果，可作二阶系统的根轨迹如图所示。 开环具有零点的二阶系统 二阶系统增加一个零点时，系统结构图如图所示，它的开环传递函数为 开环具有零点的二阶系统 的根轨迹如图 三阶系统 二阶系统附加一个极点的系统的结构图如下所示。它的开环传递函数为 三阶系统的如图根轨迹 二阶系统中增加一个极点，一个零点后系统的结构图如下所示，它的开环传递函数为 开环具有零点的三阶系统的根轨迹如图 具有复数极点的四阶系统 结构图如下所示。它的开环传递函数为 具有复数极点的四阶系统的根轨迹如图 增加开环零点将引起系统根轨迹形状的变化， 因而影响了闭环系统的稳定性及其瞬态响应性能，下面以三阶系统为例来说明。设系统的开环传递函数为 如果在系统中增加一个开环零点，系统的开环传递函数变为 下面来研究开环零点在下列三种情况下系统的根轨迹。 1. ，设 则相应系统的根轨迹如图 b) 所示。由于增加一个开环零点，根轨迹相应发生变化。 从根轨迹形状变化看，系统性能的改善不显著，当系统增益超过临界值时，系统仍将变得不稳定，但临界开环放大系数和临界频率都有所提高。 2. ，设 相应的根轨迹如图 c）所示 此时系统的开环增益取任何值时系统都将稳定。闭环系统有三个极点，如设计得合适，系统将有两个共轭复数极点和一个实数极点，并且共轭复数极点距虚轴较近，即为共轭复数主导极点。在这种情况下，系统可近似看成一个二阶欠阻尼比系统来进行分析。 3. ，设 相应系统根轨迹如图 d）所示。在此情况下，闭环复数极点距离轴较远，而实数极点却距离轴较近，这说明系统将有较低的瞬态响应速度。 ? 从以上三种情况来看，一般第二种情况比较理想，这时系统具有一对共轭复数主导极点，其瞬态响应性能指标也比较满意。 可见，增加开环零点将使系统的根轨迹向左弯曲，并在趋向于附加零点的方向发生变形。如果设计得当，控制系统的稳定性和瞬态响应性能指标均可得到显著改善。在随动系统中串联超前网络校正，在过程控制系统中引入比例微分调节，即属于此种情况。 零度根轨迹 零度根轨迹的模值条件与相角条件 绘制零度根轨迹的基本法则 （5）与虚轴的交点 运用劳斯判据 由第一列、第三行元素为零 由辅助方程 规则 8：闭环极点之和与根轨迹分支的走向 结论：若 n-m?2 闭环极点之和 = 开环极点之和 = 常数 表明：开环增益K增大时，若某些根轨迹分支（闭环极点）向左移动，而另一些根轨迹分支（闭环极点）必须向右移动，才能维持闭环极点之和为常数。 1 根轨迹的条数 2 根轨迹对称于 轴 实 就是特征根的个数 3 根轨迹起始于 ,终止于 j=1