经典高等数学课件D10-4重积分的应用.ppt

* 柱面坐标系 球面坐标系 ★重积分计算的基本方法 —— 累次积分法 第四节 一、平面图形的面积及立体体积 二、曲面的面积 三、物体的质心 四、物体的转动惯量 五、物体的引力 重积分的应用 第十章 例: 设?由锥面 计算?的体积. 解法1: 解法2: 1. 能用重积分解决的实际问题的特点: 所求量是 对区域具有可加性. 分布在有界闭域上的整体量. 2. 用重积分解决问题的方法 -----元素法 问题:满足什么条件的量可用重积分解决？ 元素法的步骤： 把定积分的元素法推广到二重积分的应用中. 元素法也可推广到三重积分上： 设曲面S的方程为 曲面S在xoy面上的投影为区 域D， 如图， 设小区域 点(x,y) 为S上过点 M(x,y,z)的切平面， 以 的边界为准线， 母线平行于z轴的 小柱面， 截曲面S为 截 切平面 为 则有 则面积 A 可看成曲面上各点 处小切平面的面积 d A 无限积累而成. ---曲面S的面积元素 因为 则有 a b x y 3.设曲面的方程为： 曲面面积公式为： 2.设曲面的方程为： 曲面面积公式为： 同理可得 曲面面积公式为： 即 1.设曲面的方程为： x z y 解： x o y P175T1 例1. 求球面 ，含在圆柱体 内部的那部分面积. 曲面方程： 由对称性知： x o y 所求面积为： 例2. 求半径为a的球的表面积. 解： 取直角坐标系， 使上半球面 的方程为 则上半球面在xoy面上的 投影区域D可表示为 由 得 函数 在闭区域D的边界 上不连续， 这是反常的二重积分， 所以先取区域 算出 上的球面 面积 后， 令 取 的极限就得半球面的 面积， 利用极坐标，得 故 即为半球面的面积. 因此整个球面的面积为 三、物理应用 则得： 则薄片的质心坐标为： 因闭区域D关于y轴对称,所以质心必在y轴上,于是 解: 古鲁金第二定理： 平面有界闭区域D绕该平面内不与它相交的直线旋转而成的旋转体，其体积等于D的面积与D的形心坐标所划出的圆周之长的乘积. 证明：用元素法. 如图,设D绕x轴旋转， 旋转体的体积为： 由于D的形心坐标为： 故 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故 连续体的转动惯量可用积分计算.