经典高等数学课件D11-5对坐标曲面积分.ppt

一、有向曲面及有向曲面元素的投影 对一般的有向曲面? , * 温馨提示： 向哪个坐标面投影，由所给积分曲面方程 的形式决定. 第一类曲面积分 的计算法: -------化为二重积分计算 第五节 一、有向曲面及有向曲面元素的投影 二、 对坐标的曲面积分的概念与性质 三、对坐标的曲面积分的计算法 四、两类曲面积分的联系 对坐标的曲面积分 第十一章 1. 曲面分类 双侧曲面 单侧曲面 莫比乌斯带 分上侧和下侧 分内侧和外侧 分左侧和右侧 (单侧曲面的典型) 其方向用法向量指向表示: 2. 指定了侧的曲面叫有向曲面, 方向余弦 0 为前侧 0 为后侧 封闭曲面 0 为右侧 0 为左侧 0 为上侧 0 为下侧 外侧 内侧 侧的规定 注: 3.有向曲面元的投影： 同理可定义： 回顾： 1. 引例 分析: 若 ? 是面积为S 的平面, 则流量 法向量: 流速为常向量: 二、 对坐标的曲面积分的概念与性质 用“大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 对稳定流动的不可压缩流体的 速度场 进行分析可得 , 则 类似地： 2.对坐标的曲面积分的定义 (又叫“第二类曲面积分”) 说明: ? 取上侧时, ? 取下侧时,有 P228 题2 3.对坐标的曲面积分的性质： 三、对坐标的曲面积分的计算方法： 从而有 证明 由所给积分的形式确定将 向哪个坐标面投影. 注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧. ---化为二重积分 1.“分面投影法” 概括为： 代换：将曲面的方程表示为二元显函数,然后代入被积函数 一代换、二投影、三定号 将其化成二元函数. 投影：将积分曲面投影到与有向面积元素(如dxdy)中两个 变量同名的坐标面上(如xoy 面). 定号: 由曲面的方向,即曲面的侧确定二重积分前的正负号. 注： 积分曲面的方程必须表示为单值显函数 否则分片计算，结果相加 ②确定正负号的原则： 曲面取上侧、前侧、右侧时为正， 曲面取下侧、后侧、左侧时为负. 例1. 解： 下侧 则由公式得： 例2. 根据对称性 思考: 下述解法是否正确: 解： 下侧 上侧 o 1 y x 1 P2474(4) 下侧 上侧 o 1 y x 1 说明： 积分曲面的方程必须表示为单值显函数 否则分片计算，结果相加. ②要写出积分曲面的方程、侧及投影区域. 由所给积分的形式确定将 向哪个坐标面投影. ③第二类曲面积分的简化计算方法有： ⅰ.利用积分曲面的方程代入被积函数,化简被积函数. ⅱ.利用积分曲面的垂直性. ⅲ.利用两类曲面积分的关系化简计算第二类曲面积分. 四、两类曲面积分的联系 2.“合一投影法”或“点积法” 注： 由这个关系式就可把第二类曲面积分转化为第一类曲面积分,用第一类面积分的计算方法计算第二类面积分.