经典高等数学课件D3-6函数图形的描绘,D3-7曲率.ppt

一、 曲线的渐近线 * 第六节 一、 曲线的渐近线 二、 函数图形的描绘 函数图形的描绘 第三章 无渐近线 . 某一直线 L 的距离趋于 0, 1.定义 . 若曲线 C上的点P沿着曲线无限地远离原点时,点P与 则称直线 L 为曲线C 的渐近线 . 例如, 双曲线 有渐近线 但抛物线 或为“纵坐标的差” “横坐标的差 1)水平渐近线 (平行于 轴的渐近线) 如果 那么 就是 的水平渐近线. 2.需掌握的几类渐近线： 2)铅直渐近线 如果 那么 就是 的垂直渐近线. (垂直于 轴的渐近线) 显然 是 的无穷间断点;故应从 的间断点中找 3)斜渐近线 斜渐近线求法: 注意: 斜渐近线 斜渐近线 若 ( P76 题14) 例1. 解: 求 的渐近线. 所以有铅直渐近线 且 则有斜渐近线 所以它没有水平渐近线; 步骤 : 1. 确定函数 的定义域 , 2. 求 并求出 3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ; 4. 求渐近线 ; 5. 确定某些特殊点(如与坐标轴的交点) , 描绘函数图形 . 为 0 和不存在的点 ; 并考察其对称性及周期性 ; 函数图形的描绘需综合研究函数性态,是导数应用的综合. 二、函数图形的描绘 例1. 解: 非奇非偶函数,且无对称性. 列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点: 不存在 拐点 极小 间断 作图 拐点 极小值 间断点 渐近线： . 在区间 上是凸弧 ; 拐点为 在区间 上是凹弧; 则函数 f (x) 的图形 的图形如图所示, 例2. 例3. 设函数 在 内连续,其导函数的图形如图所示,则 有 一个极小值点和两个极大值点. 两个极小值点和一个极大值点. 两个极小值点和两个极大值点. 三个极小值点和一个极大值点. 思考与练习 1. 曲线 (A) 没有渐近线； (B) 仅有水平渐近线； (C) 仅有铅直渐近线； (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线. 第一题的提示: 的渐近线 . 2. 曲线 3. 曲线 的渐近线 . 在工程技术问题中，有时需要研究曲线的弯曲程度，如：桥梁在荷载作用下会产生弯曲程度，因此在设计房屋、桥梁等建筑结构时，都要考虑所允许的弯曲程度，否则会造成质量事故；又如：在公路、铁路的转弯处，为使车辆平稳地转入弯道，需考虑道路的弯曲程度---曲率 请读下面文字： 第七节 一、 弧微分 二、 曲率及其计算公式 三、 曲率圆与曲率半径 曲率 一、弧长函数及其微分 1.光滑曲线： 内具有一阶连续导数(连续转动的 s取正号， 否则,s取负号. 显然： 弧长函数 是单调增加函数. ?方向与曲线正向一致时， 规定： 曲线正向是指依x增大的方向. （2）在上述规定下，就确定了一个弧长函数 2.弧长函数 ?大小等于 的长度， 切线),则称曲线 为光滑曲线 . 的值s规定如下： （1）光滑曲线上有向弧 3.弧微分---弧长 函数的微分 则对应曲线上的点 弧s的增量为 则 因为 是单调增加函数 于是弧微分为 弧微分公式 则有 d d d dy dx ds 则弧微分为 若曲线由参数方程表示: 4.弧微分的几何意义： 就是曲线 上点 处的切线上 的长度. 所以 称为微分三角形. ds 二、曲率及其计算公式 曲率:是描述曲线局部性质(弯曲程度)的量． ) ) 1.影响曲线弯曲程度的因素： (1)切线转角的大小. (单位弧长转角大的弯曲的很) (2)弧的长度. (转角一定,弧短的弯曲的很) . . . ) 2.定义： (1)平均曲率： (2)曲线 在点M处的曲率： 单位弧段上切线转角的大小. ) y x o 当 时， 平均曲率的极限叫做该曲线在点M处 即 的曲率. 则 存在， 若 即 曲率是切线的倾角对弧长的导数的绝对值. 3.曲率的计算公式 对于弧 确定了两个函数: 故曲率 y x o 说明: (1)公式中的 是函数 的一阶,二阶导数； (2) 拐点处的曲率为零. (3)直线 在任一点处的曲率为零. 直线的曲率处处为零. (