经济数学-常数项级数概念与性质.ppt

无穷级数 一、问题的提出 三、等比级数及其在经济学上的应用 四、无穷级数的基本性质 五、小结 设级数 收敛， 发散， 证明： 发散. 证 用反证法, 已知 收敛, 假定 收敛, 由 收敛, 这与题设矛盾, 所以级数 发散. 与级数性质得知 例如:1.级数 2.级数 发散 解 例9 解 例10 证明 注意 1.收敛级数可以加括弧，但收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. 收敛 发散 3.正项级数 加括弧与去括弧均不 影响其敛散性. 证明 注意 1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散; 发散 2.如果级数的一般项趋于零,则级数可能收敛，也可能发散. 解 例11 引言 正如有限中包含着无穷级数, 而无限中呈现极限 一样, 无限之灵魂居于细微之处, 而最紧密地趋近 极限却并无止境. 区分无穷大之中的细节令人喜 小中见大, 多么伟大的神力. ------雅克.伯努利 无穷级数是数与函数的一种重要表达形式, 也是微 积分理论研究 无穷 级数在表达函数、 研究函数的性质、 计算函数值以 及求解微分方程等方面 悦! 与实际应用中极其有力的工具. 都有着重要的应用. 的另一种形式, 但无论在研究极限的存在性还是在 计算这种极限的时候, 这种形式都显示出很大的优 本章先介绍无穷级数的一些基本内容, 然后再讨论 常数项级数、 函数项级数, 并着重讨论如何将函数 展开成幂级数的问题. 越性. 研究无穷级数及其和, 可以说是研究数列及其极限 一、问题的提出 二、常数项级数的概念 三、等比级数及其在经济学上的应用 四、无穷级数的基本性质 五、小结 第一节 常数项级数的概念和性质 我们在前面所学的定积分，所表达的是一类和式极限。 有限和的极限实际上是无穷多个数相加之和，所谓和式极限存在是指无穷多项相加之和是一个有限数。 下面我们将专门研究无穷和的问题，并把无穷多个数相加的式子称为无穷级数，简称级数。 “一尺之棰，日取其半，万世不竭” ，如果把每天截取的棒长相加，到第n天所得之棒长之和为： 此时上式中的加项无穷增多，成为无穷多个数相加的式子，这就是级数。 计算棒长 显然总的棒长小于1，并且n的值愈大，其数值愈接近于1；当 时， 的极限为1。 二、常数项级数的概念 设有无穷数列 称和式 (1) 为(常数项)无穷级数, 简称为级数. 其中 称为级 数的一般项或通项. 级数 (1) 的前 项的和 (2) 称为级数 (1) 的前 项部分和. 时, 当 依次取 它们构成一个新的数列 即 数列 称为部分和数列. 例 1 写出级数 一般项. 解 分母是偶数的连乘积， 而且第一项为偶数， 二项是两个偶数之积， 第三项是三个偶数之积， ， 第 项是个 偶数之积， 故可写成 而分子为奇数， 故第 项为 于是该级数的 一般项为 的 第 例 2 已知级数 的前 项的部分和 求这个级数. 解 因为 所以 从而 故所求级数为 . 2. 级数的收敛与发散 定义 如果级数 的部分和数列 存在极限 即 则称无穷级数 收敛, 极限 称为 级数 的和, 并写成 如果 没有极限, 则称无穷级数 发散. 发散, 如果级数 收敛于 则部分和 们之间的差 (3) 称为级数的余项. 显然有 而 是用 近似代替 所产生的误差. 注: 按定义, 级数 与数列 同时收敛或同时 它 例 3 讨论级数 的收敛性. 解 所以 即题设级数收敛， 其和为1. 解 故所给算术级数是发散的 例6 证明一 反证法 证明二 1.等比级数（几何级数）定义 其中 叫做公比. 2.等比级数（几何级数）敛散性定理 收敛 发散 发散 发散 综上 解 已知级数为等比级数， 性质 1 在级数中去掉、 加上或改变有限项, 不会 改变级数的收敛性. 证 这里只证明 “改变级数的前面有限项不会改 变级数的收敛性”, 其它两种情况容易由此结果 设有级数 (1) 得到一个新的级数 (2) 推出. 若改变它的前 个有限项, 设级数 (1) 的前 项和为 则 设级数 (2) 的前 项和为 则 于是, 数列 与 具有相同的收敛性, 即级数 (1) 与 (2) 具有相同的收敛性. 性质 2 如果级数 分别收敛于和 则对任意常数 级数 收敛, 且 证 设级数 及 的部分和 分别为 及 则 于是 因此 收敛, 且 结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减. 问题:1.级数一个收敛一个发散能否得出肯定结论？ 2.两个级数都发散能否得出肯定结论？ （1.发散；2.不一定.)