结构动力分析-3.ppt

§14-1 多个自由度体系的自由振动 §14-2 主振型的正交性和主振型矩阵 * 第十章 结构动力计算 Nanjing University of Technology 第十四章 结构动力学续论 对于具有n个自由度的体系 其动力微分方程的推导可以按照 两个自由度的类似方法进行。 因此，建立多自由度体系运动方程 的方法同样有： 刚度法：建立力的平衡方程。 柔度法：建立位移协调方程。 在介绍了单个自由度体系和两个自由度体系的计算后， 进一步讨论具有三个以及三个以上的多自由度体系的相关计 算，因为实际工程的振动问题基本都是具有多个自由度的体 系。如多层房屋的侧向振动，柔性较大的高耸结构在地震作 用下的振动等，都应按多自由度体系计算。 m 2m m 各有其适用范围。 1. 刚度法 质点动平衡方程 多个自由度体系的自由振动 y1(t) yn(t) y2(t) rn r2 r1 ri y2(t) yn(t) rn r2 y1(t) r1 ri 上式可用矩阵的形式表示为： 或者简写： 其中M、K分别称为质量矩阵和刚度矩阵： 多个自由度体系的自由振动 解质点动平衡方程 设： 行列式再次展开是ω2的n次方程，可求出ω2 的n个根，即得到n个自振频率。 频率方程 特点: 所有质点具有相同的频率和相同的相位角。 为了得到Y的非零解， 应使系数行列式等于零。 其展开形式如下: n个自由度体系有n个自振频率。 将全部频率由小到大排列，其中最小的称为基本频率或第一频率。 多个自由度体系的自由振动 标准化主振型： 为了使主振型的幅值也具有确定值，需要进行标准化主振型，主要有两种方法： ① 规定主振型Y中的某个元素为某个给定值； ② 规定主振型Y满足下式： 求主振型： 因为D=0，不能得到振幅的唯一解，但可以唯一地得到 各质点振幅的比值（即主振型）。 几点注意： ① 自振频率个数=自由度数. ② 每个自振频率相应一个主振型。 ③ 自振频率和主振型是体系本身的固有特性。只与体 系本身的刚度系数及其质量分布情形有关。 多个自由度体系的自由振动 k11 例1：质量集中在楼层上，每层楼的质量和层间侧移刚度如图所示，求刚架水平振动时的自振频率和振型。 m 2m k/5 k31 1 解：求刚度系数： m k/3 k k21 k12 k32 1 k22 k13 k33 1 k23 多个自由度体系的自由振动 则质量矩阵和刚度矩阵为： 则频率方程为： 其展开形式如下: 用试算法可求得方程的三个根为： 可求得： 求得频率： 多个自由度体系的自由振动 求主振型 第一主振型： 第二主振型： 在标准化主振型中，规定第三个元素Y3i=1。 展开保留后两个方程得： 多个自由度体系的自由振动 第三主振型： 展开保留后两个方程得： 展开保留后两个方程得： 多个自由度体系的自由振动 主振型图 Y31=1.0 Y21=0.569 第一主振型 Y11=0.163 第二主振型 Y32=1.0 Y22=-1.227 Y12=-0.924 第三主振型 Y33=1.0 Y23=-3.342 Y13=2.760 多个自由度体系的自由振动 方法一： 根据质点的动位移等于各质点惯性力共同作用下产生的静位移，建立自由振动微分方程。 2. 柔度法 质点位移方程 柔度法可采用两种方法推导：一是根据位移协调条件推出；二是利用刚度法的方程间接导出。 yn(t) y1(t) y2(t) 多个自由度体系的自由振动 代入微 分方程 质点 惯性力 其中：λ=1/ω2 解质点位移方程 设 特点: 两质点具有相同的频率和相同的相位角. 位移幅 值方程 幅值 消三角 函数： 多个自由度体系的自由振动 上式可用矩阵的形式表示为： 其中M、δ、I分别称为质量矩阵、柔度矩阵和单位矩阵： 行列式再次展开是ω2的n次方程，可求出ω2 的n个根，即得到n个自振频率。 频率方程 为了得到Y的非零解，应使系数行列式等于零。 其展开形式如下: 多个自由度体系的自由振动 刚度法方程为： 行列式再次展开是ω2的n次方程，可求出ω2 的n个根，即得到n个自振频率。 频率方程 为了得到Y的非零解，应使系数行列式等于零。 其展开形式如下: 方法二： 利用刚度法的方程间接导出。 转化为： 多个自由度体系的自由振动 标准化主振型： 为了使主振型的幅值也具有确定值，需要进行标准化主振型，主要有两种方法： ① 规定主振型Y中的某个元素为某个给