统计学第六版贾俊平第6章.ppt

所有样本均值的均值和方差 式中：M为样本数目 结论：1. 样本均值的均值（数学期望）等于总体均值 2. 样本均值的方差等于总体方差的1/n 6.4 样本均值的分布与中心极限定理 设X1，X2，…Xn为从某一总体中抽出的随机样本，若总体分布为正态分布N(μ，σ2)，那么 的抽样分布仍为正态分布， 的数学期望为μ ，方差为σ2/n，则 （6. 9） 的抽样分布有以下特点：期望值与总体相同，而方差则缩小为总体方差的1/n。 ? = 50 ? =10 X 正态总体分布 n = 4 抽样分布 X n =16 对于均值为μ，方差为σ2的任意总体分布，当n比较大时, 且σ2有限, 总有 （6. 10） （6. 11） 中心极限定理： 设从均值为μ、方差为σ2（有限）的任意一个总体中抽取样本量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的正态分布。 当样本容量足够大时(n ? 30) ，样本均值的抽样分布逐渐趋于正态分布 一个任意分布的总体 X 最早的中心极限定理是在18世纪初由德莫佛所证明的，即二项分布以正态分布为其极限分布定理。 现在的中心极限定理是19世纪20年代林德伯格和勒维证明的在任意分布的总体中抽取样本，其样本均值极限分布为正态分布。 【例6.4】 设从一个均值μ=10、标准差σ=0.6的总体中随机选取容量为n=36的样本。假定该总体不是很偏的,要求: (1)计算样本均值 小于9.9的近似概率。 (2)计算样本均值 超过9.9的近似概率。 (3)计算样本均值 在总体均值μ=10附近0.1范围内的近似概率。 解: 根据中心极限定理, 不论总体的分布是什么形状,在假定总体分布不是很偏的情况下,当从总体中随机抽取n=36的样本时,样本的均值 的分布近似服从均值为10、标准差为0.1的正态分布。 【例6.5】某汽车电瓶商声称其生产的电瓶具有均值为60个月, 标准差为6个月的寿命分布。现假设质检部门决定检验该厂的说法是否准确, 为此随机抽取了50个该厂生产的电瓶进行试验。 (1)假定厂商声称是正确的,试描述50个电瓶的平均寿命的抽样分布。 (2)假定厂商声称正确,则50个样品组成的样本的平均寿命不超过57个月的概率为多少? 解: (1)根据中心极限定理知, 这50个电瓶的平均寿命近似服从正态分布。其均值为μ=60, 方差为 (2)如果厂商声称是正确的，则观察到50个电瓶的平均寿命不超过57个月的概率为: 即如果厂商说法正确,则50个电瓶的平均寿命不超过57个月的概率为0.0002。 6. 5 样本比例的抽样分布 6. 5 样本比例的抽样分布 假定总体中对具有某一特征产品的喜好比例为π,在此条件下研究当从总体中随机抽取n个个体进行调查时,喜好某一产品的人数X的概率。喜好某产品的比例 （6. 12） 用样本比例 来估计总体比例π。 由二项分布的原理和渐近分布的理论可知，当n充分大时， 的分布可用正态分布逼近。此时 服从均值为π、方差为 的正态分布。 （6. 13） 【例6. 7】假定某统计人员在其填写的报表中有2%至少会有一处错误，如果我们检查了一个由600份报表组成的随机样本，其中至少有一处错误的报表所占的比例在0.025～0.070之间的概率有多大? 解: 设600份报表中至少有一处错误的报表所占的比例为 , 由题意知 即p∽N(0.02,0.00572) 即该统计人员所填写的报表中至少有一处错误的报表所占的比例在0.025～0.070之间的概率为19.02%。 所求概率为: 6. 6 两个样本平均值之差的分布 6. 6 两个样本平均值之差的分布 定义：设 是独立地抽自总体 X1～ N(μ1, )的一个容量为 n1的样本的均值, 是独立地抽自总体 X2～ N (μ2, )的一个容量为n2的样本的均值，则有 不管两个总体是否为正态分布，只要 ，则均值之差也为正态分布，其均值和方差分别是式（6.14)和式(6.15)。 (6.15) (6.14) 两个样本比例之差的抽样分布 设分别从具有参数为π1和π2的二项总体中抽取包含n1和n2个观测值的独立样本，则两个样本比例差的抽样分布为： 期望值和方差为： (6.16) (6.17) 当n1,n2很大时， 的抽样分布近似为正态分布： 【例６.９】一项抽样调查表明甲城市的消费者中有15%的人喝过商标为“圣洁”牌的矿泉水, 而乙城市的消费者中有8%的人喝过该种矿泉水。如果这些数据是真实的, 那么当我们分别从甲城市抽取120, 乙城市抽取140人，组成两个