自动控制原理2 第九章.ppt

第九章 非线性系统分析 第一节 概论一 一般情况 非线性系统一般由三部分组成: 被控对象，执行机构，测量装置 数学描述 定常、时变； 连续、离散 放大元件由于受电源电压或输出功率的限制，在输入电压超过放大器的线性工作范围时，呈现饱和现象(a). 执行元件的电动机，由于轴上存在着摩擦力矩和负载力矩，只有在电枢电压达到一定数值后，电枢才会转动。存在着死区而当电枢电压达到定数值时，电机转速将不再增加呈现饱和现象，如（b）. 传动机构受加工和装备精度限制，换向时存在着间歇特性。（C） 二 模型线性化 严格的讲，几乎所有的控制系统都是非线性的，即使采用了一个线性模型并较好地描述了系统，也只是对这个系统的一个近似描述罢了。 转化为线性系统： 为了继续使用较为成熟的线性系统分析设计方法，通常是把非线性系统近似线性化。这种线性化只适用于非线性程度不严重的情况，例如不灵敏区较小，（b）中死区较小，输入信号幅值较小，传动机构空隙不大时，都可以忽略非线性特征的影响，将非线性环节视为线性环节，另外系统工作在某个数值附近的较小范围内，也可以将非线性系统近似看作线性的。最常见的线性化方法就是泰勒展开： 忽略高阶导数项，就可以把非线性函数线性近似化。应该注意的是泰勒展开X的某个小邻域内有效。超出该范围，所做的近似就失去了意义。这个范围是严格控制的。 三 非线性特性 实际控制系统中的非线性特性是多种多样的，一般以解析函数的形式出现，如 1 连续非线性特性 特点：非灵敏区；饱和区 2 不连续特性 又称继电型非线性元件 3 非单值区特性 分类：滞后；间隙 间隙特性： 以理想继电器和带有空间滞后的继电器特性为例，说明分段线性化后的数学表达式 常见非线性特性： 四 非线性系统的研究方法及特点 相平面方法 描述函数法 李亚普诺夫稳定性理论 相平面方法： 研究对象是二阶系统，利用系统微分方程在相平面上建立系统解的几何形象，从而获得二阶系统的运动性质。 特点：无需求解非线性微分方程，直接给出能够显示系统运动特征的相图，从而获得系统全部运动性质的定性知识。 独特优越性：系统存在无限多的轨线运动，只需画出其中几条就可以获得系统全部轨线的概貌。 例：二阶系统（谐振子） 相轨迹方程为 相轨迹是一组椭圆族，系统只发生一种类型的运动——相轨迹所表示的周期解，且与初始状态有关。 描述函数法（谐波线性化法）： 非线性处理的近似方法，控制工程中较为普及的一种实用方法。 优点：比较简单，解决问题全面，且适用于高阶系统和各种非线性特性。 缺点：数学理论基础不完善，得到的结果既不是充分的，也不是必要的，而且在近似过程中会丧失部分非线性信息，从而无法从谐波线性化方程中取得关于非线性系统的某些更复杂现象的本质与特性 系统结构 非线性环节的描述函数近似于一个复数增益的比例环节，从而可以利用线性系统的频域分析方法来讨论稳定性。 非线性元件的描述函数就等价于线性系统的频率特性，所以线性系统理论中的频域结果，如奈氏判据，波特图，霍尔维茨判据及根轨迹方法等，几乎可以推广到非线性系统中来研究非线性元件的稳定性、周期解等。 Lypunov稳定性理论： 在非线性系统控制中，它是研究系统稳定性的主要方法 Lypunov第一方法：用级数形式的解来研究系统稳定性，即将系统在原点展开成泰勒级数的形式，得到一阶线性近似方程，它的稳定性就决定了非线性系统的稳定性，为一般线性化方法奠定了基础，同时也给出了线性化方法成立的条件 Lypunov第二方法：无需求解方程而直接判断解的稳定性。此方法关键是找到一个正定且有界的V(x,t)函数，且保证V函数沿时间t的导数为负定的，那么系统就是稳定的。其中V(x,t)函数可以看作是能量系统的能量函数，从物理学角度来讲，如果一个系统的能量是有限的，且能量随时间的变化率为负时，那么这个系统的所有运动都是有界的，而且最终在能量为零时，所有运动都会返回到平衡位置，即系统达到稳定。 研究方法的特点 目前通常用到的（不是全部）非线性方法有一个基本特点，就是总以某种方式通过线性化而建立起来的。换句话说就是以线性方法为基础加以修补使之能够适应解决非线性问题的需要。 相平面方法： 将非线性特性分段线性化之后，将相平面分成几个区域，使得在每个区域上系统都是线性的，然后分别在各个区域上做出相图，从而建立整个非线性系统的相图，实质是分区线性化方法 描述函数方法： 一种近似线性化方法，实质是把非线性函数u=f(x)用某个线性关系u’=k(A)x’来代替，从而实现线性化，其中线性化系统k并不是常数，而是关于表征系统运动特性的常数A的某个函数（即描述函数），上式体现了变量为谐波时的线性化关系，所以又称为“谐波线性化”方法。 注意